В математике централизатор подмножества S группы G — это множество элементов G, которые коммутируют с каждым элементом S, а нормализатор S — это множество элементов G, которые коммутируют с S «в целом». Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G и могут пролить свет на структуру G.
Определение применимо также к моноидам и полугруппам.
В теории колец централизатор подмножества кольца определяется относительно операции полугруппы (умножения). Централизатор подмножества кольца R является подкольцом R. В этой статье также говорится о централизаторах и нормализаторах в алгебре Ли.
Идеализатор[en] в полугруппе или кольце — это ещё одна конструкция в том же духе, что централизатор и нормализатор.
Централизатор подмножества S группы (или полугруппы) G определяется как[1]
Иногда, в случае отсутствия двусмысленности, группа G полностью определяется нотацией. Если S={a} — множество, состоящее из единственного элемента, CG({a}) можно сократить до CG(a). Другим, менее употребимым, обозначением для централизатора служит Z(a), которое проводит параллель с обозначением центра группы. Здесь следует проявлять осторожность, чтобы не спутать центр группы G, Z(G), и централизатор элемента g в G, который обозначается как Z(g).
Нормализатор S в группе (или полугруппе) G по определению равен
Определения похожи, но не идентичны. Если g — централизатор S и s принадлежит S, то должно выполняться , однако, если g — нормализатор, для некоторого t из S, возможно, отличного от s. То же соглашение об опускании G и скобок для множеств из единственного элемента также используется и для нормализатора. Нормализатор не следует путать с нормальным замыканием.
Если R — кольцо или алгебра, а S — подмножество кольца, то централизатор S в точности совпадает c определением для групп, только вместо G стоит R.
Если — алгебра Ли (или кольцо Ли[en]) с произведением Ли [x,y], то централизатор подмножества S определяется как [2]
Определение централизаторов для колец Ли связано с определением для колец следующим образом. Если R — ассоциативное кольцо, то для R можно задать скобочное произведение [x,y] = xy − yx. Естественно, xy = yx тогда и только тогда, когда [x,y] = 0. Если мы обозначим множество R со скобочным произведением как LR, то ясно, что централизатор кольца S в R совпадает с централизатором кольца Ли S в LR.
Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) задаётся равенством[2]
В то время как это определение является стандартным для термина «нормализатор» в алгебре Ли, следует заметить, что эта конструкция является фактически идеализатором[en] множества S в . Если S − аддитивная подгруппа , то является наибольшим подкольцом Ли (или подалгеброй Ли), в которой S является идеалом Ли.[2]
Пусть S′ — централизатор, то есть для всех Тогда:
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .