Тригонометрические функции от матрицы — обобщения тригонометрических функций для квадратных матриц.
Тригонометрические функции (особенно часто синус и косинус) от квадратных матриц возникают в решениях систем дифференциальных уравнений второго порядка.[1] Они определяются через те же ряды Тейлора, через которые определяются тригонометрические функции от вещественного или комплексного аргумента:[2]
где Xn означает матрицу X в степени n, а I — единичную матрицу той же размерности.
Также тригонометрические функции матричного аргумента могут быть определены через матричную экспоненту с учётом матричного аналога формулы Эйлера eiX = cos X + i sin X:
Например, пусть X — стандартная матрица Паули:
Тогда
Можно вычислить и кардинальный синус:
Справедлив матричный аналог основного тригонометрического тождества:[2]
Если X является диагональной матрицей, sin X и cos X также являются диагональными матрицами, причём (sin X)nn = sin(Xnn) и (cos X)nn = cos(Xnn), то есть синус и косинус диагональной матрицы могут быть вычислены путём вычисления соответственно синусов и косинусов элементов аргумента на главной диагонали.
Матричные аналоги формул синуса и косинуса суммы справедливы тогда и только тогда, когда матрица коммутируют, то есть XY = YX:[2]
Тангенс, обратные тригонометрические функции, гиперболические функции и обратные гиперболические функции так же могут быть определены и для матриц:[3]
и так далее.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .