WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора L или, эквивалентно, соответствующего ему линейного уравнения в частных производных — математическое понятие, обобщающее идею функции Грина для дифференциальных операторов, без связи с какой-либо областью и граничными условиями.

Именно, фундаментальным решением дифференциального оператора L называется решение F (вообще говоря, принадлежащее классу обобщённых функций) линейного неоднородного уравнения

LF = δ(x),

где правая часть δ(x)дельта-функция Дирака[1].

Исторически, понятие фундаментального решения сначала возникло для оператора Лапласа в размерностях 2 и 3. В настоящее время фундаментальные решения вычислены для многих конкретных дифференциальных операторов и доказано, что каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение.

Свойства

  • Фундаментальное решение оператора L, вообще говоря, не единственно. Оно определено с точностью до прибавления слагаемого Z, принадлежащего ядру оператора L: пусть F — решение уравнения LF = δ(x), тогда F+Z также является его решением, если LZ = 0[1].
  • Решение неоднородного уравнения LU = g(x) с произвольной правой частью g выражается через фундаментальное решение оператора L с помощью свёртки по формуле U = Fg. Это решение единственно в классе обобщённых функций, для которых существует свёртка с g[1].
  • Функция F является фундаментальным решением линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами
если и только если её преобразование Фурье удовлетворяет равенству где
i — мнимая единица[1].

Примеры

  • Фундаментальное решение оператора Лапласа (нижний индекс обозначает размерность пространства) задается формулами[1], где — стандартный скалярный квадрат вектора :
где означает площадь поверхности единичной сферы в n-мерном евклидовом пространстве.
где функция Хевисайда.

Примечания

  1. 1 2 3 4 5 Владимиров В.С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М:, Физматлит, 2004.

Литература

  • Владимиров В.С. Уравнения математической физики. — М:, Наука, 1985.
  • Владимиров В.С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М:, Физматлит, 2004.


Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .




Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии