Эта статья — о
фундаментальном решении уравнения в частных производных. О
фундаментальном решении системы линейных уравнений см.
Фундаментальная система решений.
Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора L или, эквивалентно, соответствующего ему линейного уравнения в частных производных — математическое понятие, обобщающее идею функции Грина для дифференциальных операторов, без связи с какой-либо областью и граничными условиями.
Именно, фундаментальным решением дифференциального оператора L называется решение F (вообще говоря, принадлежащее классу обобщённых функций) линейного неоднородного уравнения
- LF = δ(x),
где правая часть δ(x) — дельта-функция Дирака[1].
Исторически, понятие фундаментального решения сначала возникло для оператора Лапласа в размерностях 2 и 3. В настоящее время фундаментальные решения вычислены для многих конкретных дифференциальных операторов и доказано, что каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение.
Свойства
- Фундаментальное решение оператора L, вообще говоря, не единственно. Оно определено с точностью до прибавления слагаемого Z, принадлежащего ядру оператора L: пусть F — решение уравнения LF = δ(x), тогда F+Z также является его решением, если LZ = 0[1].
- Решение неоднородного уравнения LU = g(x) с произвольной правой частью g выражается через фундаментальное решение оператора L с помощью свёртки по формуле U = F ∗ g. Это решение единственно в классе обобщённых функций, для которых существует свёртка с g[1].
- Функция F является фундаментальным решением линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами
- если и только если её преобразование Фурье
удовлетворяет равенству
где
- i — мнимая единица[1].
Примеры
- Фундаментальное решение оператора Лапласа (нижний индекс обозначает размерность пространства) задается формулами[1], где
— стандартный скалярный квадрат вектора
:
- где
означает площадь поверхности единичной сферы в n-мерном евклидовом пространстве.
- где
— функция Хевисайда.
Примечания
- 1 2 3 4 5 Владимиров В.С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М:, Физматлит, 2004.
Литература
- Владимиров В.С. Уравнения математической физики. — М:, Наука, 1985.
- Владимиров В.С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М:, Физматлит, 2004.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .