Вы́рожденная ма́трица (синонимы: сингуля́рная ма́трица, осо́бая ма́трица, осо́бенная ма́трица) — квадратная матрица
определитель которой
равен нулю.
Эквивалентные условия вырожденности
Используя различные понятия линейной алгебры, можно привести различные условия вырожденности:
- Строки или столбцы матрицы линейно зависимы. Иными словами, в вырожденной матрице существует как минимум две строки (или два столбца)
и
отвечающие условию
где a — скаляр. В частности, вырождена любая квадратная матрица, содержащая нулевой столбец или строку.
- Квадратная матрица
вырождена тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор
такой, что
Иными словами, линейный оператор, соответствующий матрице в стандартном базисе, имеет ненулевое ядро.
- Квадратная матрица
вырождена тогда и только тогда, когда у неё есть хотя бы одно нулевое собственное значение
Это вытекает из уравнения, которому удовлетворяют все собственные значения матрицы:
(где E — единичная матрица), а также из того факта, что определитель матрицы равен произведению её собственных значений.
Свойства
- У вырожденной матрицы нет стандартной обратной матрицы. В то же время у вырожденной матрицы есть псевдообратная матрица (обобщённая обратная матрица) или даже их бесконечное количество.
- Ранг вырожденной матрицы меньше её размера (числа строк).
- Произведение вырожденной матрицы и любой квадратной матрицы с тем же размером даёт вырожденную матрицу. Это вытекает из свойства
Вырожденная матрица, возведённая в любую целую положительную степень, остаётся вырожденной. Произведение любого количества матриц вырождено тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей вырожден. Произведение невырожденных матриц не может быть вырожденным.
- Транспонирование вырожденной матрицы оставляет её вырожденной (поскольку транспонирование не изменяет определитель матрицы,
).
- Умножение вырожденной матрицы на скаляр оставляет её вырожденной (поскольку
, где n — размер вырожденной матрицы A, α — скаляр).
- Эрмитово-сопряжённая матрица вырожденной матрицы вырождена (поскольку определитель эрмитово-сопряжённой матрицы комплексно сопряжён с определителем исходной матрицы и, следовательно, равен нулю).
- Союзная (взаимная, присоединённая) матрица вырожденной матрицы вырождена (это вытекает из свойства союзных матриц
). Произведение вырожденной матрицы на союзную ей матрицу даёт нулевую матрицу:
поскольку для произвольной квадратной матрицы
- Треугольная (и, в частности, диагональная) матрица вырождена тогда и только тогда, когда хотя бы один из её элементов на главной диагонали нулевой. Это вытекает из того, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали.
- Если матрица A вырождена, то система уравнений
имеет ненулевые решения.
- Перестановка строк или столбцов вырожденной матрицы даёт вырожденную матрицу.
- Вырожденная матрица, рассматриваемая как линейный оператор, отображает векторное пространство в его подпространство меньшей размерности.
Частные случаи
Вырожденными матрицами являются, в частности:
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .