Теорема о циркуляции магнитного поля — одна из фундаментальных теорем классической электродинамики, сформулированная Андре Мари Ампером в 1826 году. В 1861 году Джеймс Максвелл снова вывел эту теорему, опираясь на аналогии с гидродинамикой, и обобщил её (см. ниже). Уравнение, представляющее собой содержание теоремы в этом обобщённом виде, входит в число уравнений Максвелла. (Для случая постоянных электрических полей — то есть в принципе в магнитостатике — верна теорема в первоначальном виде, сформулированном Ампером и приведённом в статье первым; для общего случая правая часть должна быть дополнена членом с производной напряжённости электрического поля по времени — см. ниже). Теорема гласит[1]:
|
Эта теорема, особенно в иностранной или переводной литературе, называется также теоремой Ампера или законом Ампера о циркуляции (англ. Ampère’s circuital law). Последнее название подразумевает рассмотрение закона Ампера в качестве более фундаментального утверждения, чем закон Био — Савара — Лапласа, который в свою очередь рассматривается уже в качестве следствия (что, в целом, соответствует современному варианту построения электродинамики).
Для общего случая (классической) электродинамики формула должна быть дополнена в правой части членом, содержащим производную по времени от электрического поля (см. уравнения Максвелла, а также параграф «Обобщение» ниже). В таком дополненном виде она представляет собой четвёртое уравнение Максвелла в интегральной форме.
В математической формулировке для магнитостатики теорема имеет[2] следующий вид[1][3]:
Здесь — вектор магнитной индукции, — плотность тока; интегрирование слева производится по произвольному замкнутому контуру, справа — по произвольной поверхности, натянутой на этот контур. Данная форма носит название интегральной, поскольку в явном виде содержит интегрирование. Теорема может быть также представлена в дифференциальной форме[4]:
Эквивалентность интегральной и дифференциальной форм следует из теоремы Стокса[5].
Приведённая выше форма справедлива для вакуума. В случае применения её в среде (веществе), она будет корректна только в случае, если под j понимать вообще все токи, то есть учитывать и «микроскопические» токи, текущие в веществе, включая «микроскопические» токи, текущие в областях размерами порядка размера молекулы (см. диамагнетики) и магнитные моменты микрочастиц (см.например ферромагнетики).
Поэтому в веществе, если не пренебрегать его магнитными свойствами, часто удобно из полного тока выделить ток намагничения (см. связанные токи), выразив его через величину намагниченности и введя вектор напряжённости магнитного поля
Тогда теорема о циркуляции запишется в форме[6]
где под (в отличие от в формуле выше) имеются в виду т. н. свободные токи, в которых ток намагничения исключён (что бывает удобно практически, поскольку — это обычно уже в сущности макроскопические токи, которые не связаны с намагничением вещества и которые в принципе нетрудно непосредственно измерить)[7].
В динамическом случае — то есть в общем случае классической электродинамики — когда поля меняются во времени (а в средах при этом меняется и их поляризация) — и речь тогда идёт об обобщённой теореме, включающей , — всё сказанное выше относится и к микроскопическим токам, связанным с изменениями поляризации диэлектрика. Эта часть токов тогда учитывается в члене .
Основным фундаментальным обобщением[8] теоремы является четвёртое уравнение Максвелла. В интегральной форме оно является прямым обобщением на динамический случай магнитостатической формулы, приведённой выше. Для вакуума[9]:
для среды[10]:
(Как видим, формулы отличаются от приведённых выше только одним добавочным членом со скоростью изменения электрического поля в правой части).
Дифференциальная форма этого уравнения:
(в гауссовой системе, для вакуума и среды соответственно) — также можно при желании считать вариантом обобщения теоремы о циркуляции магнитного поля, поскольку она, конечно, тесно связана с интегральной.
Теорема о циркуляции играет в магнитостатике приблизительно ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. В частности, при наличии определённой симметрии задачи, она позволяет просто находить величину магнитного поля во всём пространстве по заданным токам[1]. Например, для вычисления магнитного поля от бесконечного прямолинейного проводника с током по закону Био — Савара — Лапласа потребуется вычислить неочевидный интеграл, в то время как теорема о циркуляции (с учётом осевой симметрии задачи) позволяет дать мгновенный ответ:
Теорема о циркуляции магнитного поля если не принимается в качестве аксиомы, то может быть доказана с помощью закона Био — Савара — Лапласа. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое в точке бесконечным проводом с током, заданным в пространстве кривой C. По закону Био — Савара — Лапласа токовый элемент провода, заданный радиус-вектором , создаёт в точке элементарное поле .
Полная индукция магнитного поля в точке получается интегрированием элементарного поля по всей кривой C в направлении течения тока:
Нужно сразу отметить, что полученный интеграл не относится ни к одному из двух родов криволинейных интегралов. Как можно заметить, он определяет собой векторную величину, тогда как любой криволинейный интеграл является скалярной величиной. Но допустим, что его всё-таки можно вычислить каким-нибудь способом (например, интегрированием отдельно каждой компоненты вектора). Тогда найдём циркуляцию полученного вектора индукции по некоторому замкнутому контуру Г, обхватывающему провод с током.
По определению циркуляция векторной функции — это криволинейный интеграл второго рода от этой функции по замкнутому контуру в положительном направлении обхода этой кривой. Будем считать положительным направлением нормали к поверхности, натянутой на контур, такое направление, которое образует острый угол с осью z. Тогда положительное направление обхода контура определяется правилом буравчика (правого винта) по отношению к положительной нормали. Будем также считать положительным тот ток, который течёт в направлении положительной нормали контура, охватывающего ток.
Циркуляция будет иметь вид:
Можно заметить, что под знаками интегралов появилось смешанное произведение векторов , которое по свойству кососимметрии может быть записано следующим образом:
Тогда циркуляция примет вид:
Нужно обратить внимание на то, чем является векторное произведение : его величина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, а направление перпендикулярно этому параллелограмму. Тогда данное векторное произведение можно считать элементарной векторной площадкой поверхности, которую заметает вектор при двойном криволинейном интегрировании, причём угол между и , как можно заметить, является острым. Данная поверхность является цилиндрической поверхностью, охватывающей провод с током, а её сечением является контур циркуляции Г. Тогда двойной криволинейный интеграл можно заменить поверхностным интегралом второго рода по данной поверхности.
Тогда циркуляция примет вид:
Если считать поверхность интегрирования стягивающей поверхностью, легко видеть, что поверхностный интеграл представляет собой телесный угол для данной поверхности. Поверхность интегрирования условно можно считать замкнутой на бесконечности. И тогда, поскольку вектор при интегрировании всегда находится внутри поверхности, телесный угол является полным, то есть равным стерадиан. И тогда циркуляция равна .
Если бы контур Г не охватывал провод, тогда вектор при интегрировании никогда не находился бы полностью внутри поверхности интегрирования. В этом случае телесный угол был бы равен нулю, как и циркуляция поля: .
Последние два утверждения о телесном угле являются по сути содержанием теоремы Гаусса о потоке вектора напряжённости заряда через произвольную замкнутую поверхность и могут быть доказаны независимо.
Если бы ток тёк в противоположном направлении, угол между векторами и был бы уже тупым (нормаль была бы направлена внутрь поверхности), и циркуляция поменяла бы свой знак на противоположный, что эквивалентно течению тока в прежнем направлении, но с отрицательной силой.
В случае поля, создаваемого несколькими проводниками с током, нужно помнить о свойстве суперпозиции магнитного поля и свойстве аддитивности криволинейного интеграла: циркуляция суперпозиции векторов равна скалярной сумме циркуляций этих векторов.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .