Доля единицы (аликвотная дробь) — это рациональное число в виде дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — положительное целое число. Доля единицы, таким образом, является обратным числом положительного целого числа, 1/n. Примеры — 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 и т. д.
Умножение любых двух долей единицы даёт долю единицы:
Однако сложение, вычитание или деление двух долей единицы дают в общем случае отличный от долей единицы результат:
Доли единицы играют важную роль в сравнении по модулю, поскольку их можно использовать для сведения модульного деления к вычислению наибольшего общего делителя. В частности, предположим, что мы желаем вычислить результат деления на x по модулю y. Чтобы деление на x было определено по модулю y, x и y должны быть взаимно простыми. Тогда, с помощью расширенного алгоритм Евклида для поиска наибольшего общего делителя мы можем найти такие a и b, что
откуда следует
что эквивалентно
Таким образом, для деления на x (по модулю y) нужно просто умножить на a.
Любое положительное рациональное число можно представить в виде суммы долей единицы несколькими путями. Например,
Древние египтяне использовали суммы различных долей единицы в записи рациональных чисел и такие суммы часто называют египетскими дробями. До сих пор существует интерес к анализу методов, использовавшися древними для выбора возможных представлений и вычисления таких представлений [1]. Тема египетских дробей представляет интерес и для современной теории чисел. Например, гипотеза Эрдёша — Грэма и гипотеза Эрдёша — Штрауса касаются сумм долей единиц, как и определение гармонических чисел Орэ[en].
В геометрической теории групп группы треугольников классифицируются как евклидовы, сферические и гиперболические в зависимости от того, связанная с ними сумма долей единицы равна единице, меньше единицы или больше единицы.
Много хорошо известных бесконечных рядов имеют члены в виде дробей единицы. Среди них:
Матрица Гильберта имеет в качестве элементов числа
Она имеет необычное свойство — все элементы обратной ей матрицы являются целыми числами[2]. Подобным образом Ричардсон[3] определил матрицу с элементами
где Fi обозначает i-ое число Фибоначчи. Он назвал эту матрицу «матрицей Филберта» и она имеет то же самое свойство[4].
Две дроби называются смежными, если их разность является долей единицы[5][6].
В дискретном равномерном распределении все вероятности равны доле единицы. Согласно принципу безразличия[en] вероятности такого типа часто возникают в статистических вычислениях[7]. Кроме того, закон Ципфа утверждает, что для многих наблюдаемых событий, включая выбор объектов из упорядоченной последовательности, вероятность того, что n-ый объект будет выбран, пропорциональна доли единицы 1/n[8].
Уровни энергии фотонов, которые могут быть поглощены или испущены атомом водорода, согласно формуле Ридберга, пропорциональны разности двух долей единицы. Объяснение такому явлению даёт боровская модель, согласно которой уровни энергии электронных орбиталей в атоме водорода обратно пропорциональны квадрату долей единицы, а энергия фотона квантуется разностью уровней[9].
Артур Эддингтон утверждал, что постоянная тонкой структуры равна доле единицы, сначала 1/136, а затем 1/137. Это утверждение оказалось неверным и современная оценка значения постоянной тонкой структуры равна (с точностью до 6 знаков) 1/137,036[10].
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .