WikiSort.ru - Не сортированное

Таблица порядков и транзитивности

Группы перестановок

M₁₂ имеет простую подгруппу порядка 660, максимальную подгруппу. Эта подгруппа изоморфна проективной специальной линейной группе PSL₂(F₁₁) над полем из 11 элементов. Если −1 обозначить как a, а бесконечность как b, двумя стандартными генераторами являются перестановки (0123456789a) и (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Третий генератор, дающий M₁₂, переводит элемент x группы F₁₁ в ${\displaystyle 4x^{2}-3x^{7}}$ , как при перестановке (26a7)(3945).

Эта группа оказывается не изоморфной любому члену бесконечных семейств конечных простых групп и называется спорадической. M₁₁ является стабилизатором точки в M₁₂ и тоже оказывается спорадической простой группой. M₁₀, стабилизатор двух точек, не является спорадическим, но является почти простой группой, коммутант которой является знакопеременной группой A₆. Он связан с исключительным внешним автоморфизмом^[en] группы A₆. Стабилизатор 3 точек является проективной специальной унитарной группой^[en] PSU(3,2²), которая является разрешимой. Стабилизатор 4 точек является группой кватернионов.

Подобным же образом, M₂₄ имеет максимальную простую подгруппу порядка 6072, изоморфную PSL₂(F₂₃). Один генератор добавляет 1 каждому элементы поля (оставляя точку N на бесконечности неподвижной), то есть перестановка (0123456789ABCDEFGHIJKLM)(N), а другой является обращающей порядок перестановкой, (0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Третий генератор, дающий M₂₄, переводит элемент x группы F₂₃ в ${\displaystyle 4x^{4}-3x^{15}}$ . Вычисления показывают, что это перестановка (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).

Стабилизаторы 1 и 2 точек, M₂₃ и M₂₂ также оказываются спорадическими простыми группами. Стабилизатор 3 точек является простой группой и изоморфен проективной специальной линейной группе PSL₃(4).

Эти построения были процитированы Кармайклом^[9]. Диксон и Мортимер^[10] приписывают перестановки Эмилю Матьё.

Автоморфизмы групп систем Штейнера

Существует с точностью до^[en] эквивалентности единственная S(5,8,24) система Штейнера W₂₄ (схема Витта). Группа M₂₄ является группой автоморфизмов этой системы Штейнера, то есть множество перестановок, которые отображают каждый блок в некоторый другой блок. Подгруппы M₂₃ и M₂₂ определяются как стабилизаторы одной точки и двух точек соответственно.

Подобным образом, существует с точностью до эквивалентности единственная S(5,6,12) система Штейнера W₁₂, а группа M₁₂ является её группой автоморфизмов. Подгруппа M₁₁ является стабилизатором точки.

W₁₂ можно построить из аффинной геометрии на векторном пространстве F₃×F₃, системы S(2,3,9).

Альтернативное построение W₁₂ — «котёнок» Кёртиса^[11].

Введение в построение W₂₄ с помощью чудесного генератора октад^[en] Р. Т. Кёртиса и аналога для W₁₂ (miniMOG) Конвея можно найти в книге Конвея и Слоуна.

Автоморфизмы групп на коде Голея

Группа M₂₄ является группой автоморфизмов перестановок^[en] расширенного двоичного кода Голея W, то есть группы перестановок 24 координат, отображающих W в себя. Все группы Матьё можно построить как группы перестановок бинарных кодов Голея.

M₁₂ имеет индекс 2 в своей группе автоморфизмов, а M₁₂:2 оказывается изоморфной подгруппе группы M₂₄. M₁₂ является стабилизатором кода из 12 единиц. M₁₂:2 стабилизирует раздел в двух комплементарных кодах из 12 бит.

Существует естественная связь между группами Матьё и бо́льшими группами Конвея^[en], поскольку решётка Лича была построена на бинарном коде Голея и обе группы, фактически, лежат в пространстве размерности 24. Группы Конвея обнаруживаются в Монстре. Роберт Грис^[en] ссылается на 20 спорадических групп, найденных в Монстре, как Счастливое семейство, а на группы Матью как первое поколение.

Dessins d’enfants

Группы Матьё можно построить с помощью dessins d'enfants^[en] (фр: детский рисунок)^[12], а рисунок, ассоциированный с M₁₂, ле Брюн назвал «Monsieur Mathieu» (Месье Матьё)^[13].