WikiSort.ru - Не сортированное

Порождающее множество группы ${\displaystyle G}$ (или множество образующих^[1], или система образующих) — это подмножество ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle G}$ , такое, что каждый элемент ${\displaystyle G}$ может быть записан как произведение конечного числа элементов ${\displaystyle S}$ и их обратных.

Определение

Пусть ${\displaystyle S}$ — подмножество группы ${\displaystyle G}$ . Определим ${\displaystyle \langle S\rangle }$ , — подгруппу, порождённую ${\displaystyle S}$ — как наименьшую подгруппу в ${\displaystyle G}$ , содержащая все элементы ${\displaystyle S}$ , то есть пересечение всех подгрупп, содержащих ${\displaystyle S}$ . Эквивалентно, ${\displaystyle \langle S\rangle }$ — это подгруппа всех элементов ${\displaystyle G}$ , которые могут быть представлены как конечные произведения элементов ${\displaystyle S}$ и их обратных.

Если ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$ , то говорят, что ${\displaystyle S}$ порождает группу ${\displaystyle G}$ . При этом элементы ${\displaystyle S}$ называются образующими группы.

См. также

• Граф Кэли
• Задание группы

Примечания

Литература

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
• Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — 648 с.