WikiSort.ru - Не сортированное

Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Определения

• Рассмотрим отрезок числовой прямой ${\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }$ с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}).}$ Тогда последнее называется линейно связным, если для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in X}$ найдётся непрерывное отображение ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ такое, что

  ${\displaystyle f(0)=x,\;f(1)=y.}$

• Пусть дано подмножество ${\displaystyle M\subset X}$ . Тогда на нём естественным образом определяется топология ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{M}}$ , индуцированная ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ . Если пространство ${\displaystyle \left(M,\;{\mathcal {T}}_{M}\right)}$ линейно связно, то подмножество ${\displaystyle M}$ также называется линейно связным в ${\displaystyle X}$ .

Связанные определения

• Каждое линейно связное подмножество пространства ${\displaystyle X}$ содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства ${\displaystyle X}$ .
  • Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно не связным.
• Если существует база топологии пространства ${\displaystyle X}$ , состоящая из линейно связных открытых множеств, тогда топология пространства ${\displaystyle X}$ и само пространство ${\displaystyle X}$ (в этой топологии) называются локально линейно связными.

Примеры

• Прямая, окружность, выпуклое подмножество евклидова пространства — примеры линейно связных пространств.
• Замыкание графика функции ${\displaystyle \sin {\tfrac {1}{x}}}$  — пример связного пространства, которое не является линейно связным. Это пространство имеет три компоненты линейной связности: график функции при x > 0, график при x < 0 и отрезок ${\displaystyle [-1,1]}$ на оси ординат.
• Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно не связного пространства.

Свойства

• Всякое линейно связное пространство связно. Обратное неверно.
• Конечное топологическое пространство линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.
• Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен.
• Если пространство ${\displaystyle X}$ линейно связно и ${\displaystyle x,\;y\in X}$ , то гомотопические группы ${\displaystyle \pi _{1}(X,\;x)}$ и ${\displaystyle \pi _{1}(X,\;y)}$ изоморфны, причем этот изоморфизм определяется однозначно с точностью до внутреннего автоморфизма ${\displaystyle \pi _{1}(X,\;x)}$ .

Линейная связность на числовой прямой

Будем считать, что ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ , а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$  — стандартная топология числовой прямой. Тогда

• Подмножество ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} }$ линейно связно тогда и только тогда, когда

  ${\displaystyle \forall x,\;y\in M:(x\leqslant y)\Rightarrow {\bigl (}[x,\;y]\subset M{\bigr )},}$

то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.

• Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:

  ${\displaystyle (a\;,b),\;[a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty ,\;b),\;(-\infty ,\;b],\;(a,\;+\infty ),\;[a,\;+\infty ),(-\infty ,+\infty ).}$

• Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.

Обобщение

Многомерным обобщением линейной связности является ${\displaystyle k}$ -связность (связность в размерности ${\displaystyle k}$ ). Пространство ${\displaystyle X}$ называется связным в размерности ${\displaystyle k}$ , если любое отображение ${\displaystyle r}$ -мерной сферы ${\displaystyle S^{r}}$ в ${\displaystyle X}$ , где ${\displaystyle r\leqslant k}$ , гомотопно постоянному отображению.

В частности, линейно связное пространство это 0-связное пространство, то есть любое отображение двоеточия (то есть нульмерной сферы) гомотопно постоянному отображению.

Литература

• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.