WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема об опорной гиперплоскости или теорема о разделяющей гиперплоскости является одним из важных «свойств» выпуклых множеств.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle d(C,\;z^{*})}$ − расстояние между точкой ${\displaystyle z^{*}}$ и точкой ${\displaystyle c\in C}$ . Так как множество ${\displaystyle C}$ замкнуто и ограничено, а значит, компактно, то

функция ${\displaystyle d(C,\;z^{*})}$ непрерывна и достигает в некоторой точке ${\displaystyle c^{*}\in C}$ своего минимума.

Пусть ${\displaystyle P}$ − гиперплоскость, проходящая через точку ${\displaystyle z^{*}}$ и перпендикулярная прямой, соединяющей точки ${\displaystyle c^{*}}$ и ${\displaystyle z^{*}}$ .

Докажем, что ни одна из точек множества ${\displaystyle C}$ не содержится в гиперплоскости ${\displaystyle P}$ .

Предположим обратное, т.е., что существует такая точка ${\displaystyle c'}$ , принадлежащая как множеству ${\displaystyle C}$ , так и гиперплоскости ${\displaystyle P}$ .

Тогда в двухмерной плоскости, являющейся линейной оболочкой точек ${\displaystyle c',z^{*},c^{*}}$ , эти три точки образуют прямоугольный треугольник

${\displaystyle \triangle c'c^{*}z^{*}}$ с прямым углом в вершине ${\displaystyle z^{*}}$ . При этом точка ${\displaystyle c''}$ является выпуклой комбинацией точек ${\displaystyle c',c^{*}\in C}$ , так как она находится

внутри отрезка, соединяющего точки ${\displaystyle c^{*}}$ и ${\displaystyle z^{*}}$ . Однако, тогда расстояние от точки ${\displaystyle c''}$ , являющейся основанием перпендикуляра,

опущенного из вершины ${\displaystyle z^{*}}$ на гипотенузу ${\displaystyle c^{*}c'}$ , до вершины ${\displaystyle z^{*}}$ строго меньше, чем расстояние от вершины ${\displaystyle z^{*}}$ до вершины ${\displaystyle c^{*}}$ , т.е.

${\displaystyle d(c'',\;z^{*})<d(c^{*},\;z^{*})}$ .

Следовательно точка ${\displaystyle c'}$ не может принадлежать множеству ${\displaystyle C}$ , так как это предположение противоречит тому, что функция ${\displaystyle d(C,\;z^{*})}$ достигает своего минимума в точке ${\displaystyle c^{*}}$ .

Таким образом, ни одна из точек множества ${\displaystyle C}$ не содержится в гиперплоскости ${\displaystyle P}$ . Значит, всё множество ${\displaystyle C}$ содержится в одном из двух полупространств, определяемых

гиперплоскостью ${\displaystyle P}$ . Эти полупространства определяются следующими неравенствами:

${\displaystyle a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+...+a_{m}z_{m}>b}$

и

${\displaystyle a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+...+a_{m}z_{m}<b}$ ,

где числа ${\displaystyle a_{i}(1\leqslant i\leqslant m)}$ и ${\displaystyle b}$ являются коэффициентами уравнения гиперплоскости ${\displaystyle P}$ , задаваемой уравнением:

${\displaystyle a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+...+a_{m}z_{m}=b}$

Теперь, если заменить ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{m},b}$ на ${\displaystyle -a_{1},-a_{2},...,-a_{m},-b}$ , т.е. умножить уравнение гиперплоскости ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle -1}$ , то гиперплоскость останется неизменной, а

полупространства поменяются местами. Следовательно, можно считать, что полупространство, в котором содержится множество ${\displaystyle C}$ , определяется неравенством:

${\displaystyle a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+...+a_{m}z_{m}>b}$ .

Это доказывает теорему.

Литература

• Дж. фон Нейман. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Пер. с англ. под ред. и с доб. Н.Н. Воробьева. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1970. - 708 с.
• Дюбин, Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин, В.Г. Суздаль. – М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 336 с.
• Оуэн, Г. Теория игр. / Г. Оуэн. [пер. с англ.] / Под ред. А.А. Корбута. – М. : Издательство «Мир», 1971. – 229 с.