WikiSort.ru - Не сортированное

В топологии, погружение или иммерсия — такое отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$ одного топологического пространства в другое, при котором каждая точка в ${\displaystyle X}$ имеет окрестность ${\displaystyle U}$ , которую ${\displaystyle f}$ гомеоморфно отображает на ${\displaystyle f(U)}$ .

Это понятие применяется главным образом к отображению многообразий, где часто дополнительно требуется еще выполнение условия локальной плоскости. Последнее условие автоматически выполнено, если многообразия ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ являются дифференцируемыми, и матрица Якоби отображения ${\displaystyle f}$ имеет в каждой точке максимальный ранг, равный размерности ${\displaystyle X}$ .

Классификация погружений

Задача классификации погружений одного многообразия в другое с точностью до так называемой регулярной гомотопии сведена к чисто гомотопической задаче. В дифференцируемом случае, гомотопия ${\displaystyle f_{t}:X\to Y}$ называется регулярной, если матрица Якоби имеет максимальный ранг при каждом ${\displaystyle t}$ и непрерывно зависит от ${\displaystyle t}$ . Дифференциал ${\displaystyle D:TX\to TY}$ погружения определяет послойный мономорфизм касательного расслоения ${\displaystyle X}$ в касательное расслоение ${\displaystyle Y}$ . Регулярная гомотопия определяет гомотопию таких мономорфизмов.

Оказывается, что этим устанавливается биекция между классами регулярных гомотопий и гомотопическими классами мономорфизмов расслоений.

Задача погружения в евклидовы пространства сводится к задаче гомотопической классификации погружений в многообразия Штифеля ${\displaystyle V_{n}^{m}}$ . Например, так как ${\displaystyle \pi _{2}(V_{2}^{3})=0}$ , то имеется только один класс погружений сферы ${\displaystyle S^{2}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , так что стандартное вложение регулярно гомотопно своему зеркальному отражению (то есть сферу можно «регулярно вывернуть наизнанку», см. парадокс Смейла). Так как ${\displaystyle \pi _{1}(V_{1}^{2})=\mathbb {Z} }$ , то имеется счётное число классов погружений окружности в плоскость, а так как расслоение Штифеля над ${\displaystyle S^{2}}$ гомеоморфно проективному пространству ${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}}$ и ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} P^{3})=\mathbb {Z} _{2}}$ , то имеется только два класса погружений ${\displaystyle S^{1}}$ в ${\displaystyle S^{2}}$ .

Это заготовка статьи по топологии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 июня 2016 года.