Математические основы квантовой механики — принятый в квантовой механике способ математического моделирования квантовомеханических явлений, позволяющий вычислять численные значения наблюдаемых в квантовой механике величин. Были созданы Луи де-Бройлем[1] (открытие волн материи), В. Гейзенбергом[2] (создание матричной механики, открытие принципа неопределённости), Э. Шрёдингером[3] (уравнение Шрёдингера), Н. Бором[4] (формулировка принципа дополнительности). Завершил создание математических основ квантовой механики и придал им современную форму П. А. М. Дирак[5][6]. Отличительным признаком математических уравнений квантовой механики является наличие в них символа постоянной Планка.
В качестве основных характеристик для описания физических систем в квантовой механике используются наблюдаемые величины и состояния.
Наблюдаемые величины моделируются линейными самосопряжёнными операторами в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве (пространстве состояний)[7]. Каждой физической величине соответствует линейный эрмитов оператор или матрица. Например, радиусу-вектору частицы соответствует оператор умножения , импульсу частицы соответствует оператор , моменту импульса соответствует оператор
Состояния моделируются классами нормированных элементов этого пространства (векторами состояний), отличающимися друг от друга только комплексным множителем, с единичным модулем (нормированные волновые функции).[7]
Волновые функции удовлетворяют квантовому принципу суперпозиции: если два возможных состояния изображаются волновыми функциями и , то существует и третье состояние, изображаемое волновой функцией
где и -произвольные амплитуды[8].
Результатом точного измерения физической величины могут быть только собственные значения этого оператора .[7]
Математическое ожидание значений величины в состоянии вычисляется как . Здесь круглые скобки означают скалярное произведение векторов (в матричном представлении — диагональный матричный элемент).[7]
Векторы состояний и описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда где — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор.[9] Распределение вероятности возможных значений наблюдаемой величины в состоянии задаются мерой[10]:
где — самосопряжённый оператор, отвечающий наблюдаемой величине , — вектор состояния, — спектральная функция оператора , круглые скобки означают скалярное произведение векторов. Наблюдаемые величины и векторы состояния можно подвергнуть произвольному унитарному преобразованию
В этом случае любая имеющая смысл физическая величина не изменяется. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).
Совместно наблюдаемыми величинами называются величины, которые можно одновременно измерить. Совокупность операторов образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются условия коммутативности ( для всех , взаимной независимости (ни один из операторов не может быть представлен в виде функции от остальных, полноты (не существует оператора, коммутирующего со всеми и не являющегося функцией от них). Для данного набора величин пространство состояний может быть реализовано как пространство функций со скалярным произведением:
Операторы являются операторами умножения на соответствующие переменные:
Совместное распределение значений наблюдаемых:
В случае частицы в трёхмерном пространстве наблюдаемыми величинами являются координаты и импульсы .
В представлении Шрёдингера (приспособленном к координатам) пространство состояний образуют квадратично интегрируемые функции со скалярным произведением:
Операторы координат представляют собой операторы умножения:
Операторы импульсов представляют собой операторы дифференцирования:
Операторы декартовых координат и операторы импульсов удовлетворяют соотношениям коммутации:
Здесь — постоянная Планка.[7]
Матричные элементы операторов декартовых координат и операторов импульсов удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям Гамильтона в классической механике:
Здесь — оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.[7]
Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шрёдингера
где — гамильтониан:
Стационарные, то есть не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шрёдингера:
При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно[11]. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.
В любой паре одинаковых элементарных частиц можно поменять местами элементарные частицы без возникновения физически нового состояния. Математически принцип тождественности означает условие на собственные значения оператора перестановки : [12].
Состояния с являются антисимметричными (фермионы с полуцелым спином), c являются симметричными (бозоны с целым спином).
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .