WikiSort.ru - Не сортированное

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).

Определение

Семейство ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subset 2^{X}}$ подмножеств множества ${\displaystyle X}$ (здесь ${\displaystyle 2^{X}}$  — булеан) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {A}}.}$
2. Если множество ${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$ , то и его дополнение ${\displaystyle X\setminus A\in {\mathfrak {A}}.}$
3. Объединение двух множеств ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {A}}}$ также принадлежит ${\displaystyle {\mathfrak {A}}.}$

Замечания

• По определению, если алгебра содержит множество ${\displaystyle A}$ , то она содержит и его дополнение. Объединением ${\displaystyle A}$ с его дополнением является исходное множество ${\displaystyle X}$ . Дополнением к множеству ${\displaystyle X}$ является пустое множество. Это означает, что множество ${\displaystyle X}$ и пустое множество содержится в алгебре по определению.
• В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
• Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
• Если исходное множество ${\displaystyle X}$ является пространством элементарных событий, то алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.

Алгебра событий

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий ${\displaystyle \Omega }$ , элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

• алгебра конечных подмножеств ${\displaystyle \Omega }$ ;
• сигма-алгебра счётных подмножеств ${\displaystyle \Omega }$ ;
• алгебра подмножеств ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ , образованная конечными объединениями интервалов;
• сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства ${\displaystyle \Omega }$ , то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества ${\displaystyle \Omega }$ ;
• алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.

Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности ${\displaystyle \mathbf {P} }$ . Если ${\displaystyle \mathbf {P} (x)=0}$ , то событие ${\displaystyle x\subseteq \Omega }$ называется невозможным событием; если ${\displaystyle \mathbf {P} (x)=1}$ , то событие ${\displaystyle x\subseteq \Omega }$ называется достоверным событием;

Событие ${\displaystyle A+B}$ или ${\displaystyle A\cup B}$ , заключается в том, что из двух событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ происходит по крайней мере одно, называется суммой событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ .

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

См. также

• Сигма-алгебра
• Кольцо
• Полукольцо
• Аксиоматика Колмогорова
• Элементарное событие
• Событие (теория вероятностей)
• Вероятностное пространство

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Это заготовка статьи по теории множеств. Вы можете помочь проекту, дополнив её.