WikiSort.ru - Не сортированное

В теории множеств кольцом называют непустую систему множеств R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов A, B из кольца элементы ${\displaystyle A\cap B}$ и ${\displaystyle A\triangle B}$ тоже будут лежать в кольце.

Кольцо множеств как алгебраическое кольцо

С точки зрения алгебраической структуры кольцо множеств представляет собой ассоциативное коммутативное кольцо с операцией симметрической разности в роли сложения и пересечения в роли умножения. В роли нейтрального элемента по сложению выступает, очевидно, пустое множество. Нейтрального элемента по умножению в кольце множеств может и не быть. Например, не имеет нейтрального элемента по умножению кольцо всех ограниченных подмножеств числовой прямой ^[1].

Свойства колец

• Пустое множество принадлежит любому кольцу (так как ${\displaystyle \varnothing =A\triangle A}$ ).
• Объединение конечного числа элементов кольца принадлежит кольцу, так как ${\displaystyle A\cup B=(A\triangle B)\triangle (A\cap B)}$ .
• Разность элементов кольца также принадлежит кольцу, так как ${\displaystyle A\backslash B=A\triangle (A\cap B)}$ .

Расширения и сужения понятия

Кольцо является частным случаем полукольца. Более того, каждое полукольцо добавлением какого-то количества элементов можно превратить в кольцо. Минимальным кольцом, порождённым данным полукольцом S, называется такое R, что его содержит любое кольцо, содержащее S. Для каждого полукольца S такое R существует и единственно, оно состоит из всевозможных конечных объединений элементов S.

Алгеброй называется кольцо с единицей, то есть таким элементом E, что пересечение E с любым элементом A равно A. Сигма-кольцом называется кольцо, замкнутое относительно счётных объединений элементов, а дельта-кольцом — замкнутое относительно счётных пересечений. Аналогично определяется сигма-алгебра (при этом любая дельта-алгебра является сигма-алгеброй и наоборот).

Примеры

• Борелевская сигма-алгебра множеств на прямой
• Булеан

См. также

• Единица кольца

Примечания