WikiSort.ru - Не сортированное

Разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ обозначается как ${\displaystyle A\setminus B}$ , но иногда можно встретить обозначение ${\displaystyle A-B}$ и ${\displaystyle A\sim B}$ .

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$  — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

${\displaystyle A\setminus B=\{x\in A\mid x\not \in B\}.}$

Это множество часто называют дополнением множества ${\displaystyle B}$ до множества ${\displaystyle A}$ . (только когда множество В полностью принадлежит множеству А)

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, ${\displaystyle X}$ . Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством ${\displaystyle A\subset X}$ и его относительное дополнение ${\displaystyle X\setminus A}$ , при обозначении которого часто опускается значок универсума: ${\displaystyle \setminus A}$ ^{[источник не указан 969 дней]}; при этом говорится, что ${\displaystyle \setminus A}$  — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что ${\displaystyle A\setminus B=A\cap (\setminus B)}$ , то есть дополнение множества ${\displaystyle B}$ до множества ${\displaystyle A}$ есть пересечение множества ${\displaystyle A}$ и дополнения множества ${\displaystyle B}$ .

Также применяется и операторная запись вида ${\displaystyle A^{\complement }}$ , ${\displaystyle \complement _{X}A}$ или (если опустить универсальное множество) ${\displaystyle \complement A}$ .

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению ко входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.

Примеры

• Пусть ${\displaystyle A=\{1,\;2,\;3,\;4\},\;B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\}}$ . Тогда ${\displaystyle A\setminus B=\{1,\;2\},\;B\setminus A=\{5,\;6,\;7\}.}$
• Пусть ${\displaystyle \mathbb {R} }$  — множество всех вещественных чисел, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  — множество рациональных чисел, а ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  — множество целых чисел. Тогда ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$  — множество всех иррациональных чисел, а ${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }$  — дробных.

Свойства

Пусть ${\displaystyle A,\;B,\;C,\;D}$  — произвольные множества.

• Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:

${\displaystyle A\setminus A=\varnothing .}$

• Свойства пустого множества относительно разности:

${\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing ;}$

${\displaystyle A\setminus \varnothing =A.}$

• Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:

${\displaystyle A\setminus B\subset A.}$

• ${\displaystyle A\cup (B\setminus A)=A\cup B}$ . Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению).
• ${\displaystyle A\setminus B=A\setminus (A\cap B).}$
• Разность не пересекается с вычитаемым:

${\displaystyle A\cap (B\setminus A)=\varnothing .}$

• Разность множеств равна пустому множеству тогда и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:

${\displaystyle A\setminus B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset B.}$

• Законы де Моргана в алгебре множеств формулируются следующим образом:

${\displaystyle A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C);}$

${\displaystyle A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C).}$

• ${\displaystyle (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C);}$
• ${\displaystyle A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C);}$
• ${\displaystyle A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\setminus C;}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A);}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus A}$ , если ${\displaystyle C\cap A=\varnothing }$ .
• Если ${\displaystyle A\subset B}$ и ${\displaystyle C\subset D}$ , то ${\displaystyle (A\setminus D)\subset (B\setminus C);}$
• Если ${\displaystyle A\subset B}$ , то для любого ${\displaystyle C}$ выполняется ${\displaystyle (C\setminus B)\subset (C\setminus A)}$ . Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если ${\displaystyle a\leqslant b}$ , то для любого ${\displaystyle c}$ справедливо ${\displaystyle (c-b)\leqslant (c-a)}$ .

Компьютерные реализации

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором «−», обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set.

Дополнение множества

Кодировка

См. также

• Операции над множествами

Литература

• Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Физматлит, 2004. — 256 с.
• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / Пер. с англ. М. И. Кратко, под ред. А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 16, 20—22.

Примечания