WikiSort.ru - Не сортированное

Проницаемость и связанные с ней величины

Применительно к диэлектрической среде без потерь действует цепочка соотношений:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}(1+\chi )\mathbf {E} =\varepsilon _{0}\varepsilon \mathbf {E} }$ .

В большинстве случаев ${\displaystyle \chi }$ и, соответственно, ${\displaystyle \varepsilon }$ — это просто безразмерные константы конкретного материала. В вакууме ${\displaystyle \chi }$ равно нулю.

Особая ситуация возникает для нелинейных сред, когда ${\displaystyle \varepsilon }$ зависит от величины поля ${\displaystyle E}$ ; такое возможно в сравнительно сильных полях. В сегнетоэлектриках возможно появление спонтанной поляризации, а именно сохранение ${\displaystyle \mathbf {P} \neq 0}$ после снятия ранее наложенного внешнего поля.

Распределение электрического поля в пространстве с различными диэлектриками находится из численного решения уравнения Максвелла

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D(r)} =\rho (\mathbf {r} )}$

или уравнения Пуассона для электрического потенциала ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon (\mathbf {r} ){\boldsymbol {\nabla }}\varphi (\mathbf {r} )\right)=-\varepsilon _{0}^{-1}\rho (\mathbf {r} )}$ ,

где ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$ обозначает плотность свободных зарядов. На незаряженной границе двух диэлектрических сред отношение нормальных компонент напряжённости поля ${\displaystyle E_{n}}$ с обеих сторон равно обратному отношению значений проницаемости сред.

В ситуации однородного диэлектрика его наличие приводит к снижению электрического поля ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )}$ в ${\displaystyle \varepsilon }$ раз, по сравнению со случаем вакуума при том же распределении свободных зарядов. Помимо закона Кулона, практически важным примером является конденсатор любой геометрии, заряд (не разность потенциалов!) обкладок которого фиксирован.

Проницаемость в оптическом диапазоне частот

Диэлектрическая проницаемость, совместно с магнитной, определяют фазовую скорость распространения электромагнитной волны в рассматриваемой среде, а именно:

${\displaystyle \varepsilon _{0}\varepsilon (\omega )\mu _{0}\mu (\omega )=v_{ph}^{-2}}$ .

Показатель преломления диэлектрика без потерь можно выразить как квадратный корень из произведения его магнитной и диэлектрической проницаемостей:

${\displaystyle n(\omega )={\sqrt {\mu (\omega )\cdot \varepsilon (\omega )}}}$

Для немагнитных сред ${\displaystyle \mu =1}$ . Значения ${\displaystyle \varepsilon }$ для актуального в данном контексте оптического диапазона могут очень сильно отличаться от статических значений: как правило, ${\displaystyle \varepsilon }$ намного ниже, чем для статического поля. Однако, если рассматривать оптический диапазон частот сам по себе, то в нём с ростом ${\displaystyle \omega }$ величина ${\displaystyle \varepsilon }$ (а значит, и ${\displaystyle n}$ ) чаще всего возрастает. Такое поведение показателя преломления («синий свет преломляется сильнее красного») является случаем так называемой нормальной дисперсии. С противоположной ситуацией аномальной дисперсии можно столкнуться вблизи полос поглощения, но такой случай не может рассматриваться как случай без потерь.

Тензор проницаемости анизотропных сред

Диэлектрическая проницаемость связывает электрическую индукцию ${\displaystyle \mathbf {D} }$ и напряжённость электрического поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$ . В электрически анизотропных средах компонента вектора напряжённости ${\displaystyle E_{i}}$ может не только влиять на ту же самую компоненту вектора электрической индукции ${\displaystyle D_{i}}$ , но и порождать другие его компоненты ${\displaystyle D_{j}(j\neq i)}$ . В общем случае проницаемость является тензором, определяемым из следующего соотношения (в записи использовано соглашение Эйнштейна):

${\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{ij}E_{j}}$

или, иначе,

${\displaystyle \mathbf {D} ={\boldsymbol {\varepsilon }}_{a}\mathbf {E} }$

где жирный шрифт использован для векторных и тензорных величин, а

${\displaystyle \mathbf {E} =E_{1}\mathbf {e} _{1}+E_{2}\mathbf {e} _{2}+E_{3}\mathbf {e} _{3}}$ — вектор напряжённости электрического поля,

${\displaystyle \mathbf {D} =D_{1}\mathbf {e} _{1}+D_{2}\mathbf {e} _{2}+D_{3}\mathbf {e} _{3}}$ — вектор электрической индукции,

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{a}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{ij}}$ — тензор абсолютной диэлектрической проницаемости.

В изотропном случае любая компонента вектора напряженности ${\displaystyle E_{i}}$ влияет только на ${\displaystyle D_{i}}$ , при этом ${\displaystyle \varepsilon _{ij}=~\delta _{ij}\varepsilon }$ , где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера, поэтому уравнения Максвелла могут быть записаны с использованием скалярной диэлектрической проницаемости (${\displaystyle \varepsilon }$ — просто коэффициент в уравнении).

Статическая проницаемость некоторых диэлектриков

Значение ${\displaystyle \varepsilon }$ вакуума равно единице, для реальных сред в статическом поле ${\displaystyle \varepsilon >1}$ . Для воздуха и большинства других газов в нормальных условиях значение ${\displaystyle \varepsilon }$ близко к единице в силу их низкой плотности. В статическом электрическом поле для большинства твёрдых или жидких диэлектриков значение ${\displaystyle \varepsilon }$ лежит в интервале от 2 до 8, для жидкой воды значение ${\displaystyle \varepsilon }$ достаточно высокое, 88 при ${\displaystyle 0^{\circ }}$ . А у твердого льда ${\displaystyle \varepsilon }$ больше и составляет 97 при ${\displaystyle 0^{\circ }}$ . Это объясняется тем, что переход атома Н от одного О-атома к другому вызывает перестройку ковалентных и водородных связей у обоих этих О-атомов и в их в окрестности. В результате вся сеть ковалентных и водородных связей во льду сильно флуктуирует, и это приводит к аномально высокой поляризуемости льда, превосходя диэлектрическую проницаемость жидкой воды^[3]. Значение ${\displaystyle \varepsilon }$ велико для веществ с молекулами, обладающими большим электрическим дипольным моментом. Значение ${\displaystyle \varepsilon }$ сегнетоэлектриков составляет десятки и сотни тысяч.

Статическая диэлектрическая проницаемость материалов (таблица)
Вещество	Химическая формула	Условия измерения	Характерное значение εr
Вакуум	-	-	1
Воздух	-	Нормальные условия, 0,9 МГц	1,00058986 ± 0,00000050
Углекислый газ	${\displaystyle {\ce {CO2}}}$	Нормальные условия	1,0009
Тефлон (политетрафторэтилен, фторопласт)	${\displaystyle {\ce {[{-CF2-CF2-}]_n}}}$	-	2,1
Нейлон	-	-	3,2
Полиэтилен	${\displaystyle {\ce {[{-CH2-CH2-}]_n}}}$	-	2,25
Полистирол	${\displaystyle {\ce {[{-CH2-{(C6H5)}H-}]_{n}}}}$	-	2,4-2,7
Каучук	-	-	2,4
Битум	-	-	2,5-3,0
Сероуглерод	${\displaystyle {{\ce {CS2}}}}$	-	2,6
Парафин	${\displaystyle {{\ce {C18H38-C35H72}}}}$	-	2,0-3,0
Бумага	-	-	2,0-3,5
Электроактивные полимеры	−	−	2-12
Эбонит	${\displaystyle {\ce {(C6H9S)_2}}}$	−	2,5-3,0
Плексиглас (оргстекло)	-	-	3,5
Кварц	${\displaystyle {\ce {SiO2}}}$	-	3,5-4,5
Диоксид кремния	${\displaystyle {\ce {SiO2}}}$	−	3,9
Бакелит	-	-	4,5
Бетон	−	−	4,5
Фарфор	−	−	4,5-4,7
Стекло	−	−	4,7 (3,7-10)
Стеклотекстолит FR-4	-	-	4,5-5,2
Гетинакс	-	-	5-6
Слюда	-	-	7,5
Резина	−	−	7
Поликор	98 % ${\displaystyle {\ce {Al2O3}}}$	-	9,7
Алмаз	−	−	5,5-10
Поваренная соль	${\displaystyle {\ce {NaCl}}}$	−	3-15
Графит	${\displaystyle {\ce {C}}}$	−	10-15
Керамика	−	−	10-20
Кремний	${\displaystyle {{\ce {Si}}}}$	−	11.68
Бор	${\displaystyle {\ce {B}}}$	−	2.01
Аммиак	${\displaystyle {\ce {NH3}}}$	20 °C	17
		0 °C	20
		−40 °C	22
		−80 °C	26
Спирт этиловый	${\displaystyle {\ce {C2H5OH}}}$ или ${\displaystyle {{\ce {CH3-CH2-OH}}}}$	−	27
Метанол	${\displaystyle {{\ce {CH3OH}}}}$	−	30
Этиленгликоль	${\displaystyle {{\ce {HO-CH2-CH2-OH}}}}$	−	37
Фурфурол	${\displaystyle {{\ce {C5H4O2}}}}$	−	42
Глицерин	${\displaystyle {{\ce {HOCH2(OH)-CH2OH}}}}$ или ${\displaystyle {\ce {C3H5(OH)_3}}}$	0 °C	41,2
		20 °C	47
		25 °C	42,5
Вода	${\displaystyle {\ce {H2O}}}$	200 °C	34,5
		100 °C	55,3
		20 °C	81
		0 °C	88
Плавиковая кислота	${\displaystyle {\ce {HF}}}$	0 °C	83,6
Формамид	${\displaystyle {{\ce {HCONH2}}}}$	20 °C	84
Серная кислота	${\displaystyle {\ce {H2SO4}}}$	20-25 °C	84-100
Пероксид водорода	${\displaystyle {{\ce {H2O2}}}}$	−30 °C — +25 °C	128
Синильная кислота	${\displaystyle {\ce {HCN}}}$	(0-21 °C)	158
Двуокись титана	${\displaystyle {\ce {TiO2}}}$	-	86-173
Титанат кальция	${\displaystyle {\ce {CaTiO3}}}$	-	170
Титанат стронция	${\displaystyle {{\ce {SrTiO3}}}}$	-	310
Титанат бария-стронция	${\displaystyle {\ce {(Ba_{1-x}Sr_x)TiO3}}}$ , ${\displaystyle 0<x<1}$	-	500
Титанат бария	${\displaystyle {{\ce {BaTiO3}}}}$	(20-120 °C)	1250-10000
Цирконат-титанат свинца	${\displaystyle {\ce {(Pb[Zr_xTi_{1-x}]O3)}}}$ , ${\displaystyle 0<x<1}$ )		500-6000
Сополимеры	-	-	до 100000
Сульфид кадмия	${\displaystyle {{\ce {CdS}}}}$		9,3

Есть информация о том, что большой диэлектрической проницаемостью обладают некоторые сложные вещества: CCTO керамика и LSNO керамика (${\displaystyle \varepsilon }$ около 10² и 10⁶ соответственно)^[4]. Кроме того, исследуются и метаматериалы. Например диэлектрическая проницаемость порядка 10⁷—10⁸ была обнаружена у металлических наноостровковых структур на диэлектрических подложках^[5][6].

В электронике диэлектрическая проницаемость изоляционных материалов является одним из основных параметров при разработке электрических конденсаторов. Применение материала с высокой диэлектрической проницаемостью позволяет существенно сократить габаритные размеры конденсатора. Например, ёмкость плоского конденсатора

${\displaystyle C=\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {S}{d}},}$

где ${\displaystyle \varepsilon }$ — относительная диэлектрическая проницаемость материала между обкладками, ${\displaystyle S}$ — площадь обкладок конденсатора, ${\displaystyle d}$ — расстояние между обкладками. Таким образом, требуемая площадь ${\displaystyle S}$ обкладок обратно пропорциональна ${\displaystyle \varepsilon }$ . Значение диэлектрической проницаемости материала основания учитывается при разработке печатных плат, поскольку оно влияет на значение статической ёмкости проводящего рисунка слоёв питания и волновое сопротивление проводников (линий передачи сигналов) на плате.

Помимо обозначения ${\displaystyle \varepsilon }$ , ранее для относительной диэлектрической проницаемости иногда применялось обозначение ${\displaystyle \kappa }$ , которое при отсутствии греческих шрифтов заменяли на ${\displaystyle k}$ . Это обозначение ныне почти не используется и сохранилось лишь применительно к диэлектрикам в полевых транзисторах с изолированным затвором. Традиционно в таких приборах был задействован диоксид кремния (SiO₂). Однако в целях миниатюризации транзисторов на определённом этапе потребовался переход к материалам с более высокой, чем у SiO₂ (3,9), проницаемостью. Это позволяет получить нужную ёмкость при более толстом слое материала, что полезно, так как для тонких слоёв актуальны проблемы надёжности и туннельных утечек. Примерами реальных «high-k» диэлектриков являются ZrO₂, HfO₂ (у двух названных материалов ${\displaystyle \varepsilon \sim 25}$ ), TiO₂ (${\displaystyle \sim 80}$ ) и ряд других. Микросхемы на базе транзисторов с такими материалами начали серийно выпускаться в 2000-е годы^[7]. Поиск новых материалов продолжается.

Комплексная диэлектрическая проницаемость

При описании колебаний электрического поля методом комплексных амплитуд в случае диэлектрической среды с конечной проводимостью ${\displaystyle \sigma }$ уравнения Максвелла можно записывать по аналогии со случаем идеального диэлектрика, если ввести мнимую компоненту проницаемости.

Пусть напряженность электрического поля изменяется во времени по гармоническому закону (далее ${\displaystyle i}$ — мнимая единица): ${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}}$ . Тогда ${\displaystyle \partial \mathbf {E} /\partial t=-i\omega \mathbf {E} }$ , а уравнение Максвелла для магнитного поля применительно к проводящей среде выглядит:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\sigma \mathbf {E} +\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\varepsilon _{0}\left(\varepsilon +{\frac {i\sigma }{\varepsilon _{0}\omega }}\right){\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$ .

Чтобы привести это уравнение к виду, формально совпадающему с видом уравнения для непроводящей среды, величина, стоящая в скобках, объявляется комплексной диэлектрической проницаемостю ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}}$ . Значок сверху (опускаемый, если это не влечёт двусмысленности) акцентирует, что речь идёт о комплексной величине. При наличии анизотропии ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}}$ становится тензорной величиной. Иногда в методе комплексных амплитуд используют зависимость вида ${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i\omega t}}$ — тогда знак перед ${\displaystyle i}$ должен быть заменён везде.

Даже в случаях, когда в постоянном электрическом поле среда обладает очень малой проводимостью, на высоких частотах могут проявиться существенные потери, которые при таком подходе приписываются некоторой «эффективной» диэлектрической проницаемости:

${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}=\varepsilon '+\mathrm {i} \varepsilon ''}$ .

Наличие мнимой части связано с конечной проводимостью ${\displaystyle \sigma }$ , которая и обусловливает поглощение. Если частота изменения поля составляет ${\displaystyle \omega }$ , то ${\displaystyle \varepsilon ''=\sigma /\varepsilon _{0}\omega }$ .

В отрыве от метода комплексных амплитуд подставлять комплексную ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}}$ в уравнения Максвелла нельзя (следует оперировать непосредственно ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle \sigma }$ ). Однако если известны ${\displaystyle \varepsilon '}$ и ${\displaystyle \varepsilon ''}$ , то можно воспользоваться ими для анализа свойств среды, вычисления ряда других параметров включая показатель поглощения, а также получить готовыми ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '}$ и ${\displaystyle \sigma =\varepsilon _{0}|\varepsilon ''|\cdot \omega }$ для соответствующей частоты.

Характеристика диэлектрических потерь

Плотность мощности (Ватт/м³) тепловыделения за счёт диэлектрических потерь составляет

${\displaystyle w_{\mathrm {loss} }={\frac {W_{\mathrm {loss} }}{V}}=\omega \cdot \varepsilon _{0}\cdot |\varepsilon ''|\cdot E^{2}}$

Подобный механизм разогрева широко используется в микроволновых печах. Для характеристики диэлектрика с поглощением также используется величина «тангенса угла потерь» — отношение мнимой и вещественной частей комплексной диэлектрической проницаемости:

${\displaystyle {\rm {{tg}\,\delta ={\frac {|\varepsilon ''|}{\varepsilon '}}={\frac {\sigma }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon '}}.}}}$

При протекании переменного тока через конденсатор векторы напряжения и тока сдвинуты на угол ${\displaystyle \pi /2-\delta }$ , где δ — угол диэлектрических потерь. При отсутствии потерь δ = 0. Тангенс угла потерь определяется отношением активной мощности к реактивной при синусоидальном напряжении заданной частоты. Величина, обратная tg δ, называется добротностью конденсатора.

При наличии поглощения взаимосвязь между компонентами комплексной проницаемости и оптическими величинами (показателями преломления и поглощения) устанавливается с использованием соотношений Крамерса — Кронига и имеет вид

${\displaystyle (n+\mathrm {i} k)^{2}=(\varepsilon '+\mathrm {i} \varepsilon '')\mu }$

откуда для немагнитных сред следует:

${\displaystyle n^{2}={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {\varepsilon '^{2}+\varepsilon ^{\prime \prime 2}}}+\varepsilon '\right)}$

${\displaystyle k^{2}={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {\varepsilon '^{2}+\varepsilon ^{\prime \prime 2}}}-\varepsilon '\right)}$

Типичная частотная зависимость проницаемости

Параметры ${\displaystyle \varepsilon '}$ и ${\displaystyle \sigma }$ обычно сильно зависят от частоты колебаний напряженности электрического поля. Например, ясно, что в дипольной модели поляризации процесс ориентации диполей может не успевать следовать за изменениями приложенного поля, что может проявиться как возрастанием, так и снижением проницаемости по сравнению с её статическим значением.

Наиболее типичное поведение ${\displaystyle \varepsilon '}$ и ${\displaystyle \varepsilon ''}$ как функций частоты ${\displaystyle \omega }$ представлено на рисунке. Далеко от линий поглощения ("собственных частот") материала значения ${\displaystyle \varepsilon ''}$ малы, а ${\displaystyle \varepsilon '}$ не изменяется или слабо растёт с частотой. В областях вблизи линий компонента ${\displaystyle \varepsilon ''}$ имеет максимумы, а ${\displaystyle \varepsilon '}$ резко спадает. При этом не исключена ситуация, при которой ${\displaystyle \varepsilon '(\omega )}$ в каком-то диапазоне окажется отрицательным или положительным, но меньше единицы. На практике ${\displaystyle \varepsilon '<0}$ является редким случаем, а ситуация ${\displaystyle 0<\varepsilon '(\omega )<1}$ на предельно высоких (рентгеновских) частотах характерна для всех материалов: в этой области ${\displaystyle \varepsilon '}$ с ростом ${\displaystyle \omega }$ подходит к единице снизу.

Таблицы неспециализированных справочников обычно содержат данные для статического поля или малых частот вплоть до нескольких единиц кГц (иногда даже без указания данного факта). В то же время значения ${\displaystyle \varepsilon '}$ в оптическом диапазоне (частота 10¹⁴ Гц) намного отличаются в меньшую сторону от данных, представленных в подобных таблицах. Например для воды в случае статического поля относительная диэлектрическая проницаемость приблизительно равна 80. Это имеет место вплоть до инфракрасных частот. Начиная примерно с 2 ГГц ${\displaystyle \varepsilon }$ (здесь ${\displaystyle \varepsilon '\approx \varepsilon }$ ) начинает падать. В оптическом диапазоне ${\displaystyle \varepsilon }$ составляет около 1,77, соответственно показатель преломления воды равен 1,33, а не корню из восьмидесяти. О поведении относительной диэлектрической проницаемости воды в диапазоне частот от 0 до 10¹² (инфракрасная область) можно прочитать на сайте (англ.).