Эта статья о скобках для логических утверждений; о скобках для округления нецелых чисел в ту или иную сторону см.
Символы Айверсона.
Нотация Айверсона, или скобка Айверсона, — обозначение в математике. Согласно этому обозначению, истинное или ложное утверждение, заключенное в квадратные скобки, равно 1, если данное утверждение истинно, и 0, если данное утверждение ложно. Другими словами, если 
— некоторый предикат, то
![{\displaystyle [\,P\,]={\begin{cases}1,&{\text{если }}P{\text{ истинно}}\\0,&{\text{если }}P{\text{ ложно}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badfcf9a96dd23d533c8494f6b0071bfc433c8aa)
Эта нотация была введена Кеннетом Айверсоном в его языке программирования АПЛ, и оказалась очень удобным математическим обозначением.
Специальные случаи
Символ Кронекера 
является частным случаем нотации Айверсона:
![\delta_{ij} = [\,i=j\,]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b0960facc678f4a873603233de205e4796264d)
Индикаторная функция множества также может быть записана через нотацию Айверсона:
![\mathbf{1}_A(x) = [\,x \in A\,]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079e811dec2676a089ef5419f0bbae638cbdd77a)
Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция) может быть записана как
![{\displaystyle \theta (x)=[\,x\geqslant 0\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d763b30bf840797a79fb9b6705791ab3dde02a)
Функция знака числа:
![\sgn(x) = [\,x >0\,] - [\,x < 0\,]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa12cebfefd3c38264300bb57407d355db546c7)
Использование нотации Айверсона с суммами
Нотация Айверсона весьма удобна при обращении с суммами, поскольку позволяет выражать суммы без каких бы то ни было ограничений на индекс суммирования. Например,
![\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k} a_k [\, 1 \leq k \leq n\, ]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/569be78e4295509e7d7689588c3045f6de9ee03c)
В первой сумме индекс 
ограничен числами 
и 
. Во второй он пробегает все множество 
целых чисел. Формально мы имеем дело с суммой бесконечного числа слагаемых. Но фактически лишь конечное число из них отличны от нуля.
Вообще, если 
— некоторый предикат, то сумма всех 
, таких, что целое
удовлетворяет условию
, может быть записана в виде
![\sum_{P(k)} a_k = \sum_{k} a_k [\,P(k)\,]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49977339200b0e407d7a9ac8c0b3e84800695333)
Пример вычисления суммы
В качестве примера использования нотации Айверсона с суммами вычислим сумму 
для последовательности 
.
Имеем,
![[\,i < j\,] + [\,i = j\,] + [\,i >j\,] = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac3145d138b5e551dab7098a9a6d72155ce5d2d)
![{\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i<j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i=j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i>j\,]=\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69442ae5b0b4f42d6d5ef2fc41667fb2fa917fe9)
,
т.к. для правой части 
Значит,
Литература
- Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .