WikiSort.ru - Не сортированное

В теории категорий группо́ид — это категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп. А именно, категория, соответствующая группе ${\displaystyle G}$ , имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle G}$ . Композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе. Видно, что при этом каждая стрелка является изоморфизмом. Таким образом, множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.

Группоиды естественно заменяют в теории категорий группы симметрий и возникают при классификации классов изоморфных объектов.

Примеры

• Любая категория, являющаяся группой, является группоидом.
• Пусть ${\displaystyle C}$  — произвольная категория, а ${\displaystyle D\hookrightarrow C}$  — подкатегория, объекты которой совпадают с объектами ${\displaystyle C}$ , а морфизмами являются всевозможные изоморфизмы в ${\displaystyle C}$ . Тогда ${\displaystyle D}$  — группоид.
• Пусть ${\displaystyle X}$  — линейно связное топологическое пространство. Тогда его фундаментальный группоид ${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$  — это 2-категория, объектами которой являются все точки из ${\displaystyle X}$ , а стрелки из ${\displaystyle x\in X}$ в ${\displaystyle y\in X}$ соответствуют всевозможным (геометрическим) путям из ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle y}$ :

${\displaystyle f\colon [0;1]\to X,~f(0)=x,\;f(1)=y}$

Две функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ задают один и тот же путь если существует ${\displaystyle s:[0;1]\to [0;1]}$ , так что ${\displaystyle f=g\circ s}$ или ${\displaystyle g=f\circ s}$ . Композиция стрелок задаётся композицией путей:

${\displaystyle fg(t)={\begin{cases}f(2t),\;0\leqslant t\leqslant 1/2\\g(2t-1),\;1/2\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}}$

2-морфизм из ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle g}$  — это гомотопия из ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle g}$ . Фундаментальный группоид является категорификацией фундаментальной группы. Его преимущество в том, что в пространстве не требуется выбор отмеченной точки, так что не возникает проблем с неканоничностью изоморфизма фундаментальных групп в разных точках или с пространствами, имеющими несколько компонент связности. Фундаментальная группа петель из точки ${\displaystyle x\in X}$ возникает как группа 2-изоморфных автоморфизмов объекта ${\displaystyle x\in \Pi _{1}(X)}$ .

• Категория векторных расслоений ранга ${\displaystyle n}$ над стягиваемым пространством с невырожденными отображениями естественно образует группоид. Это замечание лежит в основе введения понятия джерба (англ.) (который является частным случаем стека (англ.)), представляющего собой структуру на категории пучков заданного типа. Джербы являются геометрическими объектами, классифицируемыми группами когомологий ${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {G}})}$ , где ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$  — пучок групп на ${\displaystyle X}$ . Понятие особенно важно в случае неабелевых групп ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ .

См. также

• Группоид (алгебра)

Это заготовка статьи по теории категорий. Вы можете помочь проекту, дополнив её.