WikiSort.ru - Не сортированное

Остовное дерево графа состоит из минимального подмножества рёбер графа, таких, что из любой вершины графа можно попасть в любую другую вершину, двигаясь по этим рёбрам.

Определение

Остовное дерево — ациклический связный подграф данного связного неориентированного графа, в который входят все его вершины.

Понятие остовный лес неоднозначно, под ним могут понимать один из следующих подграфов:

• любой ациклический подграф, в который входят все вершины графа, но не обязательно связный;
• в несвязном графе — подграф, состоящий из объединения остовных деревьев для каждой его компоненты связности.

Остовное дерево также иногда называют покрывающим деревом, остовом или скелетом графа. Ударение в слове «остовный» у разных авторов указывается на первый^[1] (от слова о́стов) или на второй слог.

Свойства

• Любое остовное дерево в графе с ${\displaystyle n}$ вершинами содержит ровно ${\displaystyle n-1}$ ребро.
• Число остовных деревьев в полном графе на ${\displaystyle n}$ вершинах выражается формулой Кэли:^[2]

  ${\displaystyle n^{n-2}}$

• В общем случае, число остовных деревьев в произвольном графе может быть вычислено при помощи так называемой матричной теоремы о деревьях.
• Пусть ${\displaystyle \rho }$ есть ребро в графе ${\displaystyle \Gamma }$ . Обозначим через ${\displaystyle \Gamma \backslash \rho }$ граф, полученный из ${\displaystyle \Gamma }$ выбрасыванием ребра ${\displaystyle \rho }$ , и через ${\displaystyle \Gamma /\rho }$ граф, полученный из ${\displaystyle \Gamma }$ стягиванием ребра ${\displaystyle \rho }$ в точку. Если ребро ${\displaystyle \rho }$ не является петлёй в ${\displaystyle \Gamma }$ , тогда выполняется следующее соотношение, называемое удаление-плюс-стягивание:^[3]

  ${\displaystyle \tau (\Gamma )=\tau (\Gamma \backslash \rho )+\tau (\Gamma /\rho ),}$

где ${\displaystyle \tau (\Gamma )}$ обозначает число остовных деревьев в графе ${\displaystyle \Gamma }$ .

Алгоритмы

Остовное дерево может быть построено практически любым алгоритмом обхода графа, например поиском в глубину или поиском в ширину. Оно состоит из всех пар рёбер ${\displaystyle (u,v)}$ , таких, что алгоритм, просматривая вершину ${\displaystyle u}$ , обнаруживает в её списке смежности новую, не обнаруженную ранее вершину ${\displaystyle v}$ .

Остовные деревья, построенные при обходе графа алгоритмом Дейкстры, начиная из вершины ${\displaystyle s}$ , обладают тем свойством, что кратчайший путь в графе из ${\displaystyle s}$ до любой другой вершины — это (единственный) путь из ${\displaystyle s}$ до этой вершины в построенном остовном дереве.

Существует также несколько параллельных и распределённых алгоритмов нахождения остовного дерева. Как практический пример распределённого алгоритма можно привести протокол STP.

Если каждому ребру графа присвоен вес (длина, стоимость и т. п.), то нахождением оптимального остовного дерева, которое минимизирует сумму весов входящих в него рёбер, занимаются многочисленные алгоритмы нахождения минимального остовного дерева^[4].

Задача о нахождении остовного дерева, в котором степень каждой вершины не превышает некоторой наперёд заданной константы ${\displaystyle k}$ , является NP-полной.^[5]

См. также

• Матричная теорема о деревьях
• Минимальное остовное дерево
• Теорема Кэли о числе деревьев
• Spanning Tree Protocol

Примечания