В геометрии трилинейными полярами являются некоторые специальные виды прямой линии, связанные с плоскостью треугольника и лежащие в плоскости треугольника. Трилинейная поляра точки Y (полюса) относительно невырожденного треугольника это — прямая линия, определяемая следующим построением. Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной исходной точки (на рис. дано построение трилинейной поляры EDF красной точки Y). Здесь чевианный треугольник — треугольник, тремя вершинами которого являются три основания чевиан исходного треугольника.
Свойства
Трилинейная поляра EDF пересекает три продолжения трех сторон опорного треугольника ABC в трех точках так, что вместе с двумя концами сторон треугольника и с соответствующим основанием одной из трех чевиан образует гармоническую четвёрку точек, лежащих на каждой из трех сторон, включая их продолжения. На рис. справа выше это - три гармонические четвёрки точек: 1) B,C',A,F, 2) B,A',C,D, 3) A,B',C,E.
Примеры трилинейных поляр треугольника
- Трилинейной полярой центра вписанной окружности (инцентра) служит ось внешних биссектрис или антиортовая ось DEF(antiorthic axis) (см. рис.). На ней лежат все три основания D, E и F трех внешних биссектрис соответственно AD, CE и BF внешних углов треугольника ABC.
- Ортоцентрическая ось (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра (см. рис.)
- Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида (см. рис.)
- Трилинейная полярой точки Лемуана служит ось Лемуана (см. рис.)
- Трилинейная полярой центра описанной окружности служит прямая EDF (см. рис.)
- Трилинейнай полярой точки Коснита, изогонально сопряженной для центра окружности девяти точек, служит прямая EDF (см. рис.)
- Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид)
- Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности. Это означает то, что если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке , лежит на трилинейной поляре точки , тогда трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке лежит на трилинейной поляре точки .
Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра показана красным цветом
Вариации и обобщения
- Существуют также понятие поляры точки P относительно невырожденной кривой второго порядка.
- Трилинейная поляра точки Y, изогонально сопряженной для точки X треугольника, называется центральной линией точки X[1][2].
См. также
Примечания
- ↑ Kimberling, Clark (June 1994). “Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle”. Mathematics Magazine. 67 (3): 163—187. DOI:10.2307/2690608.
- ↑ Kimberling, Clark. Triangle Centers and Central Triangles. — Winnipeg, Canada : Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. — P. 285.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .