WikiSort.ru - Не сортированное

Если вокруг данного остроугольного треугольника ${\displaystyle \Delta ABC}$ описать окружность и в трех вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует так называемый тангенциальный треугольник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ по отношению к данному треугольнику ${\displaystyle \Delta ABC}$ . Треугольник ${\displaystyle \Delta ABC}$ по отношению к треугольнику ${\displaystyle \Delta ABC}$ называют тангенциальным треугольником, ибо его стороны ${\displaystyle A'C'}$ , ${\displaystyle B'C'}$ и ${\displaystyle A'B'}$ являются касательными к окружности, описанной около данного треугольника ${\displaystyle \Delta ABC}$ соответственно в вершинах ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ .

Замечание

Тангенциальный по латыни означает касательный, хотя термин касательный треугольник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ может иметь и несколько более общий смысл, как треугольник, на сторонах которого лежат вершины данного треугольника ${\displaystyle \Delta ABC}$ .

Координаты вершин

Трилинейные координаты вершин тангенциального треугольника

${\displaystyle A'=-a:b:c}$

${\displaystyle B'=a:-b:c}$

${\displaystyle C'=a:b:-c}$

Свойства

• Стороны тангенциального треугольника ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Вписанная в тангенциальный треугольник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ окружность является описанной окружностью по отношению к данному треугольнику ${\displaystyle \Delta ABC}$ .
• Центр вписанной в тангенциальный треугольник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ окружности совпадает с центром окружности, описанной около данного треугольника ${\displaystyle \Delta ABC}$ .
• Связь между углами тангенциального треугольника и данного треугольника ΔABC

${\displaystyle \ A'=\pi -2A;}$ ${\displaystyle \ B'=\pi -2B;}$ ${\displaystyle \ C'=\pi -2C.}$

• Центр вписанной в тангенциальный треугольник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ окружности совпадает с центром окружности, описанной около данного треугольника ${\displaystyle \Delta ABC}$ .
• Для данного треугольника ${\displaystyle \Delta ABC}$ его тангенциальный треугольник ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ и ортотреугольник ${\displaystyle \Delta A''B''C''}$ подобны.
• Площадь данного треугольника ${\displaystyle \Delta ABC}$ равна среднему геометрическому между площадями тангенциального треугольника и ортотреугольника.
• Площадь тангенциального треугольника равна^[1]:

${\displaystyle S_{tan}={\frac {S(2abc)^{2}}{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}}$

где ${\displaystyle S}$  — площадь треугольника ${\displaystyle \Delta ABC}$ ; ${\displaystyle a,b,c}$  — его соответствующие стороны.

Или^[2]

${\displaystyle S_{tan}={\frac {1}{2}}|S\sec A\sec B\sec C|}$

• Стороны тангенциального треугольника равны^[2]

${\displaystyle a'={\frac {2a^{3}bc}{|a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}|}}}$

${\displaystyle b'={\frac {2ab^{3}c}{|b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}|}}}$

${\displaystyle c'={\frac {2abc^{3}}{|c^{4}-(b^{2}-a^{2})^{2}|}}}$

Замечательные точки

Следующая таблица даёт соответствие замечательных точек тангенциального треугольника с центрами исходного треугольника. X_n означает индекс замечательной точки в списке Кимберлинга^[5].

См. также

• Ортотреугольник
• Подерный треугольник

Примечания

Литература

• Зетель С. И.  Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 38—39. — ISBN 5-94057-170-0.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.