WikiSort.ru - Не сортированное

Линейный пример

Здесь мы предполагаем понимание базового многомерного математического анализа и рядов Фурье. Если g(x,y) является известной комплексной функцией от двух вещественных переменных и g является периодической по x и по y (то есть g(x,y)=g(x+2π,y)=g(x,y+2π)), то мы заинтересованы в нахождении функции f(x,y), такой, что

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=g(x,y)}$ для всех x,y

где выражение слева означает вторую частную производную функции f по x и по y, соответственно. Это уравнение Пуассона и оно может быть физически проинтерпретировано как некоторый вид задачи передачи тепла или задачи в теории потенциалов среди прочих других возможностей.

Если мы запишем f и g в виде рядов Фурье

${\displaystyle f=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)}}$

${\displaystyle g=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}}$

И подставим в дифференциальное уравнение, мы получим уравнение:

${\displaystyle \sum -a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}}$

Мы поменяли местами частичное дифференцирование с суммированием, что законно, если мы предположим, например, что f имеет непрерывную вторую производную. Согласно теореме единственности разложения Фурье, мы должны тогда приравнять коэффициенты Фурье элемент за элементом, что даёт

(*) ${\displaystyle a_{j,k}=-{\frac {b_{j,k}}{j^{2}+k^{2}}}}$

что является явной формулой для коэффициентов Фурье a_j,k.

С периодическими краевыми условиями уравнение Пуассона обладает решение, только если b_0,0 = 0. Таким образом, мы можем свободно выбрать a_0,0. Это соответствует выбору константы интегрирвоания.

Чтобы преобразовать это в алгоритм, вычисляется только конечное число частот. Это даёт ошибку, которая, как можно показать, пропорциональна ${\displaystyle h^{n}}$ , где ${\displaystyle h:=1/n}$ и ${\displaystyle n}$ является наибольшей обрабатываемой частотой.

Нелинейный пример

Мы желаем решить нелинейное уравнение Бюргерса переходного процесса с помощью специального подхода.

Если дана ${\displaystyle u(x,0)}$ на периодической области ${\displaystyle x\in \left[0,2\pi \right)}$ , находим ${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$ , такой, что

${\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=\rho \partial _{xx}u+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right),\forall t>0}$

где ρ является коэффициентом вязкости. Это превращается в

${\displaystyle \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle =\left\langle \partial _{x}\left(-{\frac {1}{2}}u^{2}+\rho \partial _{x}u\right),v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0}$

где ${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{0}^{2\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx}$ соответствует скалярному произведению. Интегрирование по частям и использование периодичности даёт

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.}$

Для применения метода Фурье-Галёркина выберем

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{N}:=\left\{u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}\right\}}$

и

${\displaystyle {\mathcal {V}}^{N}:={\text{ span}}\left\{e^{ikx}:k\in -N/2,\dots ,N/2-1\right\}}$

где ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle }$ . Это сводит задачу к поиску ${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}^{N}}$ , такого, что

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}$

Используя отношение ортогональности ${\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}}$ , где ${\displaystyle \delta _{lk}}$ является дельтой Кронекера, мы упрощаем три элемента выше для каждого ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle \partial _{t}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =\left\langle \sum _{l}\partial _{t}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k},\\\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle \sum _{l}{\hat {f}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =2\pi {\hat {f}}_{k},{\text{ and}}\\\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle {\frac {1}{2}}\left(\sum _{p}{\hat {u}}_{p}e^{ipx}\right)\left(\sum _{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}\right)-\rho \partial _{x}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {1}{2}}\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},ike^{ikx}\right\rangle -\left\langle \rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}\right\rangle \\&=-{\frac {ik}{2}}\left\langle \sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},e^{ikx}\right\rangle -\rho k\left\langle \sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle \\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}.\end{aligned}}}$

Собираем три члена для каждого ${\displaystyle k}$ и получаем

${\displaystyle 2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}$

Делим на ${\displaystyle 2\pi }$ и, наконец, получаем

${\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}$

С начальными условиями преобразования Фурье ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(0)}$ и определяя ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}(t)}$ , эта пара обыкновенных дифференциальных уравнений может быть проинтегрирована по времени (с помощью, например, техники Рунге — Кутта) для нахождения решения. Нелинейный член является свёрткой и существует несколько техник, основанных на преобразованиях, для вычисления эффективного её вычисления.