WikiSort.ru - Не сортированное

Частные случаи

Общие оценки

Далее для удобства изложения примем ${\displaystyle n=\deg \varphi }$ .

Хуа вывел оценку ${\displaystyle |{S_{\varphi }}(q)|<c(n)q^{1-{\frac {1}{n}}}}$ , где ${\displaystyle c(n)}$  — константа, зависящая только от ${\displaystyle n}$ . То есть ${\displaystyle |{S_{\varphi }}(q)|=O(q^{1-{\frac {1}{n}}})}$ при фиксированном ${\displaystyle n}$ .^[1]

Если ${\displaystyle \varphi (x)=ax^{n}}$ , то при простом ${\displaystyle q>2}$ верна более точная оценка ${\displaystyle |{S_{\varphi }}(q)|\leq (n-1){\sqrt {q}}}$ .^[2]

Частичные линейные суммы

Пользуясь стандартной формулой суммы геометрической прогрессии, можно вывести, что для ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {ax}{q}}}$ выполнено

${\displaystyle \left\vert {\sum \limits _{x=1}^{m}{e^{2\pi i\varphi (x)}}}\right\vert =\left\vert {\frac {e^{2\pi i{\frac {a}{q}}}-e^{2\pi i{\frac {a(m+1)}{q}}}}{1-e^{2\pi i{\frac {a}{q}}}}}\right\vert \leq {\frac {2}{\min \left({\left\lbrace {\frac {a}{q}}\right\rbrace ,1-\left\lbrace {\frac {a}{q}}\right\rbrace }\right)}}}$ ,

где ${\displaystyle \left\lbrace {x}\right\rbrace }$ означает дробную часть числа ${\displaystyle x}$ .

Невозможность некоторых нетривиальных оценок

А. А. Карацуба доказал^[3], что при ${\displaystyle n>\left({{\frac {1}{2\log {2}}}-\varepsilon }\right){\frac {p}{\log {p}}},\ \varphi (x)=ax^{n}}$ существует бесконечно много простых ${\displaystyle p}$ , для которых ${\displaystyle |S_{\phi }(p)|>\left({1-\delta (\varepsilon )}\right)p}$ , где ${\displaystyle \delta (\varepsilon )\to 0}$ при ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ , то есть при таких ${\displaystyle n}$ для соответствующих тригонометрических сумм невозможны оценки сверху, необходимые для большинства приложений.