Целое число называется квадратичным вычетом по модулю , если разрешимо сравнение[1]:
Если указанное сравнение не разрешимо, то число называется квадратичным невычетом по модулю . Решение приведенного выше сравнения означает извлечение квадратного корня в кольце классов вычетов.
Квадратичные вычеты широко применяются в теории чисел, они также нашли практические применения в акустике[2], криптографии, теории графов (см. Граф Пэли) и в других областях деятельности.
Понятие квадратичного вычета может также рассматриваться для произвольного кольца или поля. Например, квадратичные вычеты в конечных полях.
Математическая энциклопедия и ряд других источников определяют квадратичный вычет как число , для которого существует решение сравнения . В других источниках (например, Г. Хассе. Лекции по теории чисел, 1953) указано дополнительное требование, что число взаимно просто с . Часть источников вообще рассматривает только случай нечётного простого модуля[3] [4]. В обоих последних случаях ноль исключается из рассмотрения.
Числа и являются квадратичными вычетами по любому модулю, так как сравнения и всегда имеют решения и соответственно.
Следствие: поскольку для модуля существуют только два класса вычетов и любое число по модулю 2 является квадратичным вычетом.
По модулю 3 существуют три класса вычетов: Их квадраты попадают в классы вычетов соответственно. Отсюда видно, что числа из классов и являются квадратичными вычетами, а числа из класса (например, ) — квадратичные невычеты по модулю 3.
Теория квадратичных вычетов широко применяется, в частности, для исследования возможных целочисленных значений квадратичных форм. Рассмотрим, например, уравнение:
Из него следует, что Однако квадраты чисел дают по модулю 5 только вычеты то есть 3 является квадратичным невычетом по модулю 5. Отсюда следует, что приведенное уравнение не имеет решений в целых числах[5].
Общее квадратное сравнение вида где числа взаимно просты и не являются делителями модуля может быть исследовано следующим образом: находится решение сравнения затем исходное квадратное сравнение умножается на получая сравнение вида: Осталось определить[6], является ли квадратичным вычетом по модулю .
Среди ненулевых чисел , для простого модуля существует ровно квадратичных вычетов и невычетов.
Так как , то достаточно показать, что среди чисел нет сравнимых по модулю .
Пусть такие числа есть и при и .
Так как , то и, ввиду того, что - простое, и , имеем , что невозможно потому, что
Таким образом, ненулевые квадратичные вычеты образуют подгруппу индекса 2 в мультипликативной группе кольца .
Вальтер Стангл в 1996 году представил формулу, позволяющую вычислить количество квадратичных вычетов по произвольному модулю .[7]
Пусть — каноническое разложение числа . Тогда для количества квадратичных вычетов по модулю верна формула
Если , то первый множитель не учитывается.
Пусть — простое, . Обозначим через количество квадратичных вычетов по модулю среди чисел .
И. М. Виноградовым было доказано, что , где .
Из этого следует, что в произвольных интервалах достаточно большой длины (такой, что ) будет иметь место асимптотическое равенство , то есть квадратичных вычетов и невычетов асимптотически будет поровну.
Обозначим через минимальный положительный квадратичный невычет по простому модулю .
Из неравенства (см. раздел «количество в интервале»), напрямую следует, что , то есть .
В результате более глубоких исследований Виноградов доказал, что .
Существует выдвинутая Виноградовым гипотеза о том, что .
Если гипотеза Римана верна, то .
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .