WikiSort.ru - Не сортированное

Функция g(n)

Иоганн Эйлер, сын Леонарда Эйлера, предположил около 1772 года^[6], что:

${\displaystyle g(n)=2^{n}+[(3/2)^{n}]-2}$ .

В 1940-е годы Леонард Диксон, Пиллай (англ. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai), Рубугундай (англ. R. K. Rubugunday) и Нивен^[7] с учётом результата Малера (нем. Kurt Mahler)^[8] доказали, что это верно за исключением конечного числа значений ${\displaystyle n}$ , превышающих 471 600 000. Существует гипотеза, что эта формула верна для всех натуральных чисел.

Несколько первых значений ${\displaystyle g(n)}$ :

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1 079, 2 132, 4 223, 8 384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, …^[9]

Примечательно, что, например, для ${\displaystyle n=3}$ только числа 23 и 239 не представимы суммой восьми кубов.

Функция G(n)

В 1924 году Виноградов применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм^[10], это не только сильно упростило доказательство, но и открыло путь к принципиальному улучшению оценки для ${\displaystyle G(n)}$ . После целого ряда уточнений он в 1959 году доказал, что:

${\displaystyle G(n)<2n\log n+4n\log \log n+2n\log \log \log n+13n}$ .

Применяя сконструированную им ${\displaystyle p}$ -адическую форму кругового метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана — Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, Карацуба в 1985 году улучшил^[11] эту оценку. При ${\displaystyle n\geqslant 400}$ :

${\displaystyle G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n}$ .

В дальнейшем оценку улучшил Вули, сначала в работе 1992 года^[12], затем — в 1995 году^[13]:

${\displaystyle G(n)\leqslant n\log n+n\log \log n+2+O(\log \log n/\log n)}$ .

Вон (англ. Bob Vaughan) и Вули написали о проблеме Варинга объёмную обзорную статью^[14], в которой результат Карацубы, опубликованный в 1985 году, относят к публикации Вона 1989 года^[15].

Фактически величина ${\displaystyle G(n)}$ известна только для 2 значений аргумента, именно ${\displaystyle G(2)=4}$ и ${\displaystyle G(4)=16}$ .

Проблема Варинга — Гольдбаха

Проблема Варинга — Гольдбаха ставит вопрос о представимости целого числа суммой степеней простых чисел, по аналогии с проблемой Варинга и проблемой Гольдбаха.

Хуа Ло-кен, используя улучшенные методы Харди — Литлвуда и Виноградова, получил для числа простых слагаемых оценку сверху ${\displaystyle O(n^{2}\log n)}$ ^[23].

На официальном сайте механико-математического факультета МГУ по состоянию на 2014 год утверждается, полное решение проблемы Варинга — Гольдбаха в 2009 году нашёл Чубариков^[24], однако в единственной статье 2009 года^[25] даётся решение задачи, лишь в некотором смысле сходной с проблемой Варинга — Гольдбаха^[26].

Точность представления целого числа суммой степеней

Обобщением проблемы Варинга можно считать вопрос о точности представления целого числа суммой степеней целых, не решенный даже для степени равной ${\displaystyle 2}$ .

Все натуральные числа, за исключением чисел вида ${\displaystyle 4^{m}(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots ,}$ представимы в виде ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ . Естественно возникает вопрос: как близко к заданному числу ${\displaystyle N}$ можно подойти суммой двух квадратов целых чисел? Так как ${\displaystyle (n+1)^{2}-n^{2}=2n+1}$ и правая часть этого равенства имеет порядок корня квадратного из ${\displaystyle n^{2}}$ , то одним квадратом можно подойти к ${\displaystyle N}$ на расстояние порядка ${\displaystyle N^{1/2}}$ . Следовательно, суммой двух квадратов можно подойти к ${\displaystyle N}$ на расстояние порядка ${\displaystyle N^{1/4}}$ . А можно ли подойти ближе? Со времен Эйлера стоит эта задача «без движения», хотя есть гипотеза о том, что

${\displaystyle \min _{x,\;y\in Z}|N-x^{2}-y^{2}|\leqslant N^{\varepsilon },}$

где ${\displaystyle \varepsilon >0,\;\varepsilon }$  — любое, ${\displaystyle N\geqslant N_{1}(\varepsilon )}$ . Заменить ${\displaystyle 1/4}$ в предыдущем рассуждении на ${\displaystyle 1/4-c}$ со сколь угодно малым фиксированным ${\displaystyle c>0}$ , не удаётся, и эта, на первый взгляд, простая задача не продвигается с середины XVIII века^[27].

Многомерный аналог проблемы Варинга

В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга Карацуба получил^[28][29] двумерное обобщение этой проблемы. Рассматривается система уравнений:

${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\ldots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i},\quad i=0,\;1,\;\ldots ,\;n}$ ,

где ${\displaystyle N_{i}}$  — заданные положительные целые числа, имеющие одинаковый порядок роста, ${\displaystyle N_{0}\to +\infty }$ , а ${\displaystyle x_{\varkappa },\;y_{\varkappa }}$  — неизвестные, но также положительные целые числа. Согласно двумерному обобщению, эта система разрешима, если ${\displaystyle k>cn^{2}\log n}$ , а если ${\displaystyle k<c_{1}n^{2}}$ , то существуют такие ${\displaystyle N_{i}}$ , что система не имеет решений.