WikiSort.ru - Не сортированное

В математике программа Ленглендса представляет собой сеть далеко идущих и влиятельных гипотез о связях между теорией чисел и геометрией. Была предложена Робертом Ленглендсом в 1967 и 1970. Она стремится связать группы Галуа в алгебраической теории чисел с автоморфными формами и теорией представлений алгебраических групп над локальными полями и аделями. Программа Ленглендса, широко известная как самый крупный проект в современных математических исследованиях, была описана Эдвардом Френкелем как «теория великого объединения математики»^[1].

Ленглендс получил за программу Ленглендса премию Абеля в 2018 году.

Контекст

Программа Ленглендса построена на разработанных ранее идеях: философия параболических форм, сформулированная несколькими годами ранее Хариш-Чандрой и Израилем Гельфандом в 1963, работы Хариш-Чандры по полупростым группам Ли, а в техническом плане — формула следа Сельберга и т. д.

Основная новизна работ Ленглендса, помимо технической глубины, состояла в гипотезах о прямой связи теории автоморфных форм и теории представлений с теорией чисел, в частности, о соответствии между морфизмами в этих теориях (функториальность).

Например, в работе Хариш-Чандры можно найти принцип, согласно которому то, что можно сделать для одной полупростой (или редуктивной) группы Ли, должно быть сделано для всех. Поэтому, как только была признана роль некоторых малоразмерных групп Ли, таких как ${\displaystyle \mathrm {GL} (2)}$ в теории модулярных форм, и с ретроспективным взглядом ${\displaystyle \mathrm {GL} (1)}$ в теории полей классов, путь был открыт как минимум к предположению о ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ для общего случая ${\displaystyle n>2}$ .

Идея cusp form появилась из заострений на модулярных кривых, но также имела смысл, видимый в спектральной теории как дискретный спектр, контрастирующий с непрерывным спектром из рядов Эйзенштейна. Он становится гораздо более техническим для больших групп Ли, потому что параболические подгруппы более многочисленны.

Во всех этих подходах не было недостатка в технических методах, часто индуктивных по своей природе и основанных на декомпозиции Леви среди других вопросов, но поле было и остается очень требовательным^[3].

На стороне модулярных форм были такие примеры, как модулярные формы Гильберта, модулярные формы Зигеля и тэта-ряды.

Объекты гипотезы

Существует ряд связанных гипотез Ленглендса. Существует множество разных групп во многих разных областях, для которых они могут быть изложены, и для каждой области существует несколько различных вариантов гипотез^[2]. Некоторые версии гипотез Ленглендса являются неопределенными или зависят от таких объектов, как группы Ленглендса, существование которых недоказано, или от L-группы, которая имеет несколько неэквивалентных определений , Более того, гипотезы Ленглендса развивались с тех пор, как Ленглендс впервые изложил их в 1967 году.

Существуют различные типы объектов, для которых могут быть сформулированы гипотезы Ленглендса:

• Представления редуктивных групп над локальными полями (с различными подслучаями, соответствующими архимедовым локальным полям, p-адическим локальным полям и пополнениям полей функций)
• Автоморфные формы на редуктивных группах над локальными полями (с подслучаями, соответствующими числовым полям или полям функций).
• Конечные поля. Ленглендс первоначально не рассматривал этот случай, но его гипотезы имеют для него аналоги.
• Более общие поля, такие как поля функций над полем комплексных чисел.

Гипотезы

Существует несколько разных способов изложения гипотез Ленглендса, которые тесно связаны, но не являются очевидно эквивалентными.

Текущее состояние

Гипотеза Ленглендса для ${\displaystyle \mathrm {GL} (1,K)}$ следуют из (и по существу эквивалентны) теории полей классов.

Ленглендс доказал гипотезы Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , дав классификацию Ленглендса неприводимых представлений над этими полями.

Классификацию Люстига неприводимых представлений групп лиева типа над конечными полями можно рассматривать как аналог гипотез Ленглендса для конечных полей.

Доказательство модулярности полустабильных эллиптических кривых над рациональными числами, данное Эндрю Уайлсом, можно рассматривать как пример гипотезы взаимности Ленглендса, так как основная идея состоит в том, чтобы связать представления Галуа, возникающие из эллиптических кривых, с модулярными формами. Хотя результаты Уайлса были существенно обобщены во многих разных направлениях, полная гипотеза Ленглендса для ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {Q} )}$ остается недоказанной.

Лоран Лаффорг доказал теорему Лаффорга — гипотезу Ленглендса для общей линейной группы ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$ для полей функций ${\displaystyle K}$ . Эта работа продолжила более ранние исследования Дринфельда, который доказал гипотезу для случая ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,K)}$ .

Примечания

Ссылки

• Arthur, James (2003), "The principle of functoriality", American Mathematical Society. Bulletin. New Series Т. 40 (1): 39–53, ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0273-0979-02-00963-1 
• Bernstein, J. & Gelbart, S. (2003), An Introduction to the Langlands Program, Boston: Birkhauser, ISBN 3-7643-3211-5 
  • Дж. Бернштайн, Ст. Гелбарт. Введение в программу Ленглендса. — Москва — Ижевск, 2008.
• Gelbart, Stephen (1984), "An elementary introduction to the Langlands program", American Mathematical Society. Bulletin. New Series Т. 10 (2): 177–219, ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6 
• Frenkel, Edward (2005), "Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory", arΧiv:hep-th/0512172 

• Gelfand, I. M. (1963), "Automorphic functions and the theory of representations", Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, с. 74–85, <http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/>. Проверено 13 июля 2018. 
• Harris, Michael & Taylor, Richard (2001), The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, vol. 151, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09090-0, <https://books.google.com/books?id=sigBbO69hvMC> 
• Henniart, Guy (2000), "Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique", Inventiones Mathematicae Т. 139 (2): 439–455, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/s002220050012 
• Kutzko, Philip (1980), "The Langlands Conjecture for Gl_2 of a Local Field", Annals of Mathematics Т. 112 (2): 381–412, DOI 10.2307/1971151 
• Langlands, Robert (1967), Letter to Prof. Weil, <http://publications.ias.edu/rpl/section/21> 
• Langlands, R. P. (1970), "Problems in the theory of automorphic forms", Lectures in modern analysis and applications, III, vol. 170, Lecture Notes in Math, Berlin, New York: Springer-Verlag, с. 18–61, ISBN 978-3-540-05284-5, doi:10.1007/BFb0079065, <http://publications.ias.edu/rpl/section/21> 
• Laumon, G.; Rapoport, M. & Stuhler, U. (1993), "D-elliptic sheaves and the Langlands correspondence", Inventiones Mathematicae Т. 113 (2): 217–338, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01244308 
• Scholze, Peter (2013), "The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic fields", Inventiones Mathematicae Т. 192 (3): 663–715, DOI 10.1007/s00222-012-0420-5 
• Solomon Friedberg. What is… the Langlands program? // Notices of the AMS. — 2018. — Vol. 65. — P. 663—665. — DOI:10.1090/noti1686.
• Владимир Королёв. Соединяя несоединимое (неопр.). N+1 (23 марта 2018). Проверено 13 июля 2018.

Ссылки

• The work of Robert Langlands
• Роберт Ленглендс. Функториальность и взаимность