WikiSort.ru - Не сортированное

Приближение заданных точек линейными и полиномиальными функциями

Начнём приближения с многочлена первой степени:

${\displaystyle y=ax+b\;.}$

Это прямая с угловым коэффициентом a. Через любые две точки можно провести прямую, так что многочлен первой степени проходит через любые две точки с различными абсциссами.

Если порядок уравнения увеличить до многочленов второй степени, получим:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\;.}$

Эта функция описывает параболу. Параболу можно провести через любые три точки.

Если увеличить порядок многочлена до третьей степени, получим:

${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;.}$

Такую кривую можно построить для любых четырёх заданных точек. Более того, как правило, можно построить такую кривую, если заданы в точности четыре ограничения. Каждое ограничение может быть точкой, углом, или кривизной (которая является обратной величиной от радиуса соприкасающейся окружности). Ограничения в виде угла и кривизны чаще всего добавляется к концам кривой, и такие ограничения часто называются граничными условиями. Одинаковые граничные условия часто используются для обеспечения гладкого перехода между полиномиальными кривыми внутри сплайна. Ограничения более высокого порядка, такие как скорость изменения кривизны, также могут быть заданы. Это, например, может использоваться в строительстве автострадных развязок для расчёта скорости изменения сил, действующих на автомобиль (см. рывок) во время прохождения развязки и расчёта максимальной допустимой скорости.

Многочлен первой степени можно также построить, если заданы одна точка и угол, в то время как многочлен третьей степени может быть построен для двух точек, заданного углового коэффициента и заданной кривизны. Возможны другие комбинации ограничений для этих и более высоких степеней многочлена.

Если задано более чем n + 1 условий (где n — степень многочлена), можно всё равно попытаться построить полиномиальная кривую, удовлетворяющую этим условиям. Однако в общем случае такую кривую построить не удастся (например, многочлен первой степени по трём точкам можно построить, только если эти точки коллинеарны). Поэтому нужны некоторые методы осуществления приближения. Метод наименьших квадратов является одним из них.

Имеется несколько причин для получения приближённого решения, когда просто увеличение степени многочлена дало бы точное прохождение через точки:

• Даже если точное решение существует, из этого не следует, что его легко найти. В некоторых алгоритмах можем получить расходящуюся последовательность и точное решение может оказаться невычислимым, в других случаях может потребоваться слишком много компьютерного времени для нахождения точного решения. В этих ситуациях может оказаться более приемлемым приближённое решение.
• Эффект усреднения ненадёжных данных в выборке, может быть предпочтителен точному следованию точкам выборки, при котором может возникнуть выгибание кривой.
• Феномен Рунге: при интерполяции полиномами высоких степеней может возникнуть эффект нежелательных осцилляций. Если кривая проходит через точки A и B, от кривой ожидается, что она пройдёт где-то близко к середине отрезка AB. Это может оказаться неверным в случае многочленов высокой степени — отклонение может быть очень велико. Для многочленов малой степени кривая, скорее всего, пройдёт рядом с серединой отрезка (а в случае многочлена первой степени обязательно пройдёт через середину).
• Многочлены низкой степени обычно «гладкие», а многочлены высокой степени, как правило, «волнистые». Говоря точнее, максимальное число точек перегиба полиномиальной кривой равно n-2, где n — порядок многочлена. Точка перегиба — это точка, где кривизна кривой меняет знак. Заметим, что многочлены высокой степени не обязательно «волнистые», они также могут быть и «гладкими», но нет никаких гарантий «гладкости», в отличие от многочленов малого порядка. Многочлен десятой степени может иметь до восьми точек перегиба, но может иметь и меньше, или вообще не иметь.

Степень многочлена, более высокая, чем необходимо для точного прохождения кривой через точки, нежелательна по всем перечисленным выше причинам, но, кроме того, приводит к бесконечному числу решений. Например, многочлен первой степени (прямая) с ограничением одной точкой вместо обычных двух приводит к бесконечному числу решений. Отсюда вырастает проблема — как сравнивать и выбрать только одно решение, и это может стать проблемой как для программ, так и для людей. По этой причине лучший выбор — как можно меньшая степень для точного выполнения всех ограничений, и, может быть, даже меньшая степень, если приближённое решение допустимо.

Приближение заданных точек другими функциями

Могут быть также использованы в некоторых случаях и другие типы кривых, такие как тригонометрические функции (например, синус и косинус).

В спектроскопии данные могут быть приближены нормальным распределением, распределением Коши, контуром Фойгта^[en] и связанными функциями.

Геометрическое приближение заданных точек окружностью

Куп^[20] попытался решить задачу поиска наилучшего визуального приближения окружностью точек на плоскости. Метод элегантно преобразует нелинейную задачу в линейную, которую уже можно решить, не прибегая к рекурретным методам, а потому результат получается быстрее, чем при использовании предыдущих подходов.

Геометрическое приближение эллипсом

Вышеупомянутая техника была распространена на эллипсы общего вида^[21] путём добавления нелинейного шага, в результате чего получен быстрый метод, находящий, однако, визуально привлекательные эллипсы произвольной ориентации и расположения.