Серединный треугольник (дополнительный треугольник) — треугольник, построенный на серединах сторон данного треугольника, частный случай серединного многоугольника для многоугольника с сторонами для .
Серединный треугольник можно рассматривать как образ исходного треугольника при гомотетии с центром в центроиде с множителем −½. Таким образом, серединный треугольник подобен исходному и имеет тот же самый центроид и медианы, что и исходный треугольник . Отсюда также следует, что периметр серединного треугольника равен полупериметру треугольника и что его площадь равна четверти площади треугольника . Более того, четыре треугольника, на которые разбивается исходный треугольник серединным треугольником, равны по трём сторонам, так что их площади равны и составляют четверть площади исходного треугольника[1]. В этой связи иногда «серединными» называют сразу все четыре равных между собой внутренних треугольника, получаемых из заданного треугольника проведением в нём трёх средних линий (в наиболее традиционной терминологии серединным называют только один из них — центральный).
Ортоцентр серединного треугольника совпадает с центром описанной окружности данного треугольника , этот факт даёт средства для доказательства того, что центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой — прямой Эйлера.
Серединный треугольник является подерным треугольником центра описанной окружности. Окружность девяти точек является описанной для серединного треугольника, а потому центр девяти точек является центром описанной вокруг серединного треугольника окружности Точка Нагеля серединного треугольника является центром вписанной окружности исходного треугольника[2].
Серединный треугольник равен треугольнику, вершинами которого служат середины отрезков, соединяющих ортоцентр и его вершины (треугольник Эйлера)[3].
Центр вписанной окружности треугольника лежит в серединном треугольнике[4]. Точка внутри треугольника является центром вписанного в треугольник эллипса[en] тогда и только тогда, когда эта точка лежит внутри серединного треугольника[5]. Серединный треугольник является единственным вписанным треугольником, для которого никакой из трёх остальных треугольников не имеет площадь, меньшую площади этого треугольника[6]. Центр окружности, вписанной в серединный треугольник данного треугольника , является центром масс периметра треугольника (центром Шпикера), этот центр является центром тяжести однородной проволочной фигуры, соответствующей треугольнику.
Пусть — длины сторон треугольника . Трилинейные координаты вершин серединного треугольника задаются формулами:
Если — серединный треугольник для , то является антисерединным треугольником (антидополнительным) для . Антикомплементарный треугольник для образуется тремя прямыми, параллельными сторонам — параллельно через точку , параллельно через точку и параллельно через точку .
Трилинейные координаты вершин антисерединного треугольника задаются формулами:
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .