В геометрии однородный звёздчатый многогранник — это самопересекающийся однородный многогранник[en]. Эти многогранники называются также невыпуклыми многогранниками, подчёркивая самопересечение. Каждый многогранник может содержать грани в виде звёздчатых многоугольников или иметь звёздчатые вершинные фигуры, но может содержать и то, и другое.
Полный набор 57 непризматических однородных звёздчатых многогранников включает 4 правильных, называемых телами Кеплера — Пуансо, 5 квазиправильных, и 48 полуправильных.
Существует также два бесконечных множества однородных звёздчатых призм и антипризм[en].
Так же, как (невырожденные) звёздчатые многоугольники (которые имеют плотность[en] большую 1) соответствуют круговым многоугольникам с перекрывающимися частями, звёздчатые многогранники, которые не проходят через центр, имеют плотность[en], большую 1, и соответствуют сферическим многогранникам с перекрывающимися частями. Существует 48 таких непризматических однородных звёздчатых многогранников. Оставшиеся 9 непризматических однородных звёздчатых многогранников имеют грани, проходящие через центр, являются полумногогранниками[en] и не соответствуют сферическим многогранникам, поскольку центр не может быть однозначно спроецирован на сферу.
Невыпуклые формы конструируются из треугольников Шварца.
Все треугольники, перечисленные ниже, сгруппированы по их группам симметрии, а внутри сгруппированы по расположению вершин.
Правильные многогранники помечены их символами Шлефли. Другие, неправильные однородные многогранники снабжены их вершинной конфигурацией или их номером однородного многогранника (Uniform polyhedron index, U(1-80)).
Примечание: Для невыпуклых форм ниже приводится дополнительное описание Неоднородный, когда выпуклая оболочка набора вершин[en] имеет ту же топологию, но имеет неправильные грани. Например, неоднородное скашивание (удаление рёбер) может дать прямоугольники на местах удалённых рёбер, а не квадраты.
Диэдральная симметрия
Тетраэдральная симметрия
Существует один невыпуклый вид, тетрагемигексаэдр, который имеет тетраэдральную симметрию (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (3 3 2)).
Существует два треугольника Шварца, из которых образуются уникальные невыпуклые однородные многогранники — прямоугольный треугольник (3/2 3 2) и один треугольник общего вида (3/2 3 3). Треугольник (3/2 3 3) генерирует октагемиоктаэдр[en], который приведён ниже в разделе октаэдральной симметрии[en].
| Расположение вершин[en] (Выпуклая оболочка) |
Невыпуклые виды | |
|---|---|---|
 Тетраэдр |
||
 Спрямлённый тетраэдр Октаэдр |
 (4.3/2.4.3) 3/2 3 | 2 | |
 Усечённый тетраэдр |
||
 Скошенный тетраэдр (Кубооктаэдр) |
||
 Всеусечённый тетраэдр (Усечённый октаэдр) |
||
 Плосконосый тетраэдр (Икосаэдр) |
||
Октаэдральная симметрия
Существует 8 выпуклых форм и 10 невыпуклых с октаэдральной симметрией[en] (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (4 3 2)).
Существует четыре треугольника Шварца, которые образуют невыпуклые формы, два прямоугольных, (3/2 4 2) и (4/3 3 2), и два общего вида, (4/3 4 3) и (3/2 4 4).
| Расположение вершин[en] (Выпуклая оболочка) |
Невыпуклые виды | ||
|---|---|---|---|
 Куб |
|||
 Октаэдр |
|||
 Кубооктаэдр |
 (6.4/3.6.4)[en] 4/3 4 | 3 |
 (6.3/2.6.3)[en] 3/2 3 | 3 | |
 Усечённый куб |
 4.8/3.4/3.8/5) 2 4/3 (3/2 4/2) | |
 (8/3.3.8/3.4)[en] 3 4 | 4/3 |
 (4.3/2.4.4)[en] 3/2 4 | 2 |
 Усечённый октаэдр |
|||
 Ромбокубооктаэдр |
 (4.8.4/3.8)[en] 2 4 (3/2 4/2) | |
 (8.3/2.8.4)[en] 3/2 4 | 4 |
 (8/3.8/3.3)[en] 2 3 | 4/3 |
 Неоднородный Усечённый кубооктаэдр |
 (4.6.8/3)[en] 2 3 4/3 | | ||
 Неоднородный Усечённый кубооктаэдр |
 (8/3.6.8)[en] 3 4 4/3 | | ||
 Плосконосый куб |
|||
Икосаэдральная симметрия
Имеется 8 выпуклых форми и 46 невыпуклых с икосаэдральной симметрией[en] (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (5 3 2)). (или 47 невыпуклых форм, если включать фигуру Скиллинга). Некоторые невыпуклые плосконосые виды имеют зеркальную вершинную симметрию.
Тело Скиллинга
Ещё одним невыпуклым многогранником является большой биплосконосый биромбододекаэдр[en], известный также как тело Скиллинга, которое вершинно однородно, но имеет разделяемые общие для граней пары рёбер, так что четыре грани имеют одно общее ребро. Иногда его причисляют к однородным многогранникам, но не всегда. Тело имеет симметрию Ih.
Вырожденные случаи
Коксетер с помощью построения Витхоффа определил некоторое число вырожденных звёздчатых многогранников, которые имеют перекрывающиеся рёбра или вершины. Эти вырожденные формы включают:
См. также
Примечания
Литература
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — DOI:10.1098/rsta.1954.0003.
- М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974.
- M. Brückner. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte. — Leipzig, Germany: Teubner, 1900.
- С.П. Сопов. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников // Украинский геометрический сборник. — 1970. — Вып. 8. — С. 139–156.
- J. Skilling. The complete set of uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1975. — Т. 278. — С. 111–135. — ISSN 0080-4614. — DOI:10.1098/rsta.1975.0022.
- Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El, Kaleido software, Images, dual images
- R. E. Mäder. Uniform Polyhedra // Mathematica. — 1993. — Вып. 3. — С. 48-57.
- Peter W. Messer. Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals // Discrete & Computational Geometry. — 2002. — Вып. 27. — С. 353-375.
- Richard Klitzing, 3D, uniform polyhedra
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Uniform Polyhedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
 | Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .