WikiSort.ru - Не сортированное

Метод численного интегрирования Верле (англ. Verlet integration), метод Штёрмера (Störmer's method) — численный метод, используемый для интегрирования уравнений движения материальной точки (${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}={\vec {a}}({\vec {x}},t)}$ ). Часто используется для вычисления траекторий частиц в моделях молекулярной динамики и в компьютерных играх. Метод Верле более устойчив, чем более простой метод Эйлера, и имеет при этом другие качества, необходимые для моделирования физических процессов в реальном времени.

Назван в честь французского физика Лу Верле (фр. Loup Verlet), который своей статьёй 1967 года популяризовал^{[источник не указан 3339 дней]} метод, предложенный Карлом Штёрмером. Часто некорректно именуется «алгоритмом Верлета», «интеграцией Верлета». Популярность у разработчиков компьютерных игр метод получил в 2000 году с выходом игры Hitman: Codename 47.

Основной алгоритм

Алгоритм Верле используется для вычисления следующего местоположения точки по текущему и прошлому, без использования скорости. Формула получается следующим образом. Записывается разложение в ряд Тейлора вектора ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ местоположения точки в моменты времени ${\displaystyle (t+\Delta t)}$ и ${\displaystyle (t-\Delta t)}$ .

${\displaystyle {\vec {x}}(t+\Delta t)={\vec {x}}(t)+{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4})}$

${\displaystyle {\vec {x}}(t-\Delta t)={\vec {x}}(t)-{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}-{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4}).}$

Где
${\displaystyle {\vec {x}}}$  — позиция точки,
${\displaystyle {\vec {v}}}$  — скорость,
${\displaystyle {\vec {a}}}$  — ускорение,
${\displaystyle {\vec {b}}}$  — рывок (производная ускорения по времени).
Сложив эти 2 уравнения и выразив ${\displaystyle {\vec {x}}(t+\Delta t)}$ , получим:

${\displaystyle {\vec {x}}(t+\Delta t)=2{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}(t-\Delta t)+{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).}$

Таким образом, значение радиус-вектора точки может быть вычислено без знания скорости.

Особенности

Основная особенность алгоритма состоит в возможности накладывать на систему точек различные ограничения. Например, можно связать некоторые из них твёрдыми стержнями заданной длины. При этом алгоритм работает следующим образом:

1. Вычисляются новые положения тел (см. формулу выше).
2. Для каждой связи удовлетворяется соответствующее ограничение, то есть расстояние между точками делается таким, каким оно должно быть.
3. Шаг 2 повторяется несколько раз, тем самым все условия удовлетворяются (разрешается система условий).

Данный метод, несмотря на многократное повторение шага 2, очень эффективен.

Ссылки

• Лекция «Реализация физики на основе интегрирования Верлета» на сайте GameDev.ru
• Перевод статьи «Advanced Character Physics»
• Пример реализации интегрирования Верле на Java

В другом языковом разделе есть более полная статья Verlet integration (англ.). Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода. При этом, для соблюдения правил атрибуции, следует установить шаблон {{переведённая статья}} на страницу обсуждения, либо указать ссылку на статью-источник в комментарии к правке.