WikiSort.ru - Не сортированное

Возвратное уравнение — алгебраическое уравнение вида: ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0}$ c равными друг другу коэффициентами, стоящими на симметричных относительно середины позициях, то есть если ${\displaystyle a_{n-k}=a_{k}}$ , при ${\displaystyle k=0,1,...,n}$ . Иногда такие уравнения называют симметричными или симметрическими. Многочлены в левой части возвратного уравнения называют возвратными многочленами.

Уравнение четвёртой степени

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0}$ , где a, b и c — некоторые числа, причём ${\displaystyle a\neq 0}$ .

Алгоритм решения подобных уравнений:

• разделить левую и правую части уравнения на ${\displaystyle x^{2}}$ . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при ${\displaystyle a\neq 0}$ ;
• группировкой привести полученное уравнение к виду ${\displaystyle a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0}$ ;
• ввести новую переменную ${\displaystyle t={x+{1 \over x}}}$ , тогда выполнено ${\displaystyle t^{2}={x^{2}+2+{1 \over {x^{2}}}}}$ , то есть ${\displaystyle {x^{2}+{1 \over {x^{2}}}}={t^{2}-2}}$ ;
• в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: ${\displaystyle at^{2}+bt+c-2a=0}$ ;
• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Модифицированное и обобщённое уравнения четвёртой степени

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. (ноябрь 2008)

Модифицированное возвратное уравнение четвёртой степени ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-bx+a=0}$ может быть сведено к квадратному уравнению относительно переменной ${\displaystyle t}$ , если ввести ${\displaystyle t=x-{\frac {1}{x}}}$ .

Обобщённое возвратное уравнение четвёртой степени сводится к квадратному уравнению подстановкой ${\displaystyle t=bx+{\frac {d}{x}}}$ . Среди всех уравнений четвёртой степени ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$ эти уравнения выделяются тем, что для их коэффициентов справедливо соотношение:

${\displaystyle {\frac {e}{a}}=\left({\frac {d}{b}}\right)^{2}.}$

Уравнения произвольных степеней

Для возвратных уравнений произвольных степеней верны следующие утверждения^[1]:

• Всякий возвратный многочлен чётной степени ${\displaystyle P_{2n}(x)}$ представим в виде ${\displaystyle P_{2n}(x)=x^{n}Q(t)}$ , где ${\displaystyle t=x+{\frac {1}{x}}}$ , а ${\displaystyle Q(t)}$ - многочлен степени ${\displaystyle n}$ .

• Всякий возвратный многочлен нечётной степени ${\displaystyle P_{2n+1}(x)}$ делится без остатка на ${\displaystyle x+1}$ и частное является возвратным многочленом чётной степени ${\displaystyle P_{2n}(x)}$ .

См. также

• Биквадратное уравнение
• Палиндром

Примечания

Ссылки

• The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials (англ.) на MathPages

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.