WikiSort.ru - Не сортированное

Аналитическое определение

Преобразованием Лежандра функции ${\displaystyle f}$ , заданной на подмножестве ${\displaystyle M}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ , называется функция ${\displaystyle f^{*}}$ ,определенная на подмножестве ${\displaystyle M^{*}}$ сопряжённого пространства ${\displaystyle V^{*}}$ по формуле

${\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{x\in M}(\left\langle p,x\right\rangle -f(x)),~~p\in M^{*}=\left\{p:\sup _{x\in M}(\left\langle p,x\right\rangle -f(x))<\infty \right\},}$

где ${\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle }$  — значение линейного функционала ${\displaystyle p}$ на векторе ${\displaystyle x}$ . В случае гильбертова пространства ${\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle }$  — обычное скалярное произведение. В частном случае дифференцируемой функции, заданной в ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n}}$ , переход к сопряженной функции осуществляется по формулам

${\displaystyle f^{*}(p)=\left\langle p,x\right\rangle -f(x),~~~p={\frac {\partial f}{\partial x}}=\operatorname {grad} f,}$

причем ${\displaystyle x}$ нужно выразить через ${\displaystyle p}$ из второго уравнения.

Геометрический смысл

Для выпуклой функции ${\displaystyle f(x)}$ её надграфик ${\displaystyle epi}$ ${\displaystyle \varphi =\{y|y\geq f(x)\}}$ есть выпуклое замкнутое множество, границей которого является график функции ${\displaystyle f(x)}$ . Множество опорных гиперплоскостей к надграфику функции ${\displaystyle f(x)}$ есть естественная область определения её преобразованием Лежандра ${\displaystyle f^{*}(p).}$ Если ${\displaystyle p}$  — опорная гиперплоскость (в нашем случае касательная) к надграфику, она пересекает ось ${\displaystyle y}$ в некоторой единственной точке. Её ${\displaystyle y}$ -координата, взятая со знаком минус, и есть значение функции ${\displaystyle f^{*}(p)}$ .

Соответствие ${\displaystyle x\to p}$ определено однозначно в области, где функция ${\displaystyle f(x)}$ дифференцируема. Тогда ${\displaystyle p}$  — касательная гиперплоскость к графику ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$ . Обратное соответствие ${\displaystyle p\to x}$ определено однозначно тогда и только тогда, когда функция ${\displaystyle f(x)}$ строго выпукла. В этом случае ${\displaystyle x}$  — единственная точка касания опорной гиперплоскости ${\displaystyle p}$ с графиком функции ${\displaystyle f(x).}$

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ дифференцируема и строго выпукла, определено соответствие ${\displaystyle p(x)\leftrightarrow df(x),}$ сопоставляющее гиперплоскости ${\displaystyle p}$ дифференциал функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$ . Это соответствие взаимно однозначно и позволяет перенести область определения функции ${\displaystyle f^{*}(p)}$ в пространство ковекторов ${\displaystyle V^{*},}$ которыми являются дифференциалы функции ${\displaystyle f(x)}$ .

В общем случае произвольной невыпуклой функции геометрический смысл преобразования Лежандра сохраняется. В силу опорного принципа, выпуклая оболочка надграфика ${\displaystyle \varphi }$ является пересечением полупространств, задаваемых всеми опорными гиперплоскостями, поэтому для преобразования Лежандра существенна лишь выпуклая оболочка надграфика ${\displaystyle \varphi }$ . Таким образом, случай произвольной функции легко сводится к случаю выпуклой. Функция даже не обязана быть дифференцируемой или непрерывной, её преобразование Лежандра все равно будет выпуклой полунепрерывной снизу функцией.

Степенная функция

Рассмотрим преобразование Лежандра функции ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ , (${\displaystyle n>0}$ , ${\displaystyle n\neq 1}$ ) определённую на ${\displaystyle \mathbb {R^{+}} }$ . В случае четного n можно рассматривать ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

${\displaystyle p(x)={\frac {df}{dx}}=n\cdot x^{n-1}.}$

Отсюда выражаем ${\displaystyle x=x(p)}$ , получаем

${\displaystyle x(p)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {1}{n-1}}.}$

Итого получаем преобразование Лежандра для степенной функции:

${\displaystyle f^{*}(p)=px-f(x)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {n}{n-1}}\cdot (n-1).}$

Легко проверить, что повторное преобразование Лежандра дает исходную функцию ${\displaystyle f(x)}$ .

Функция многих переменных.

Рассмотрим функцию многих переменных определённую на пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ следующего вида:

${\displaystyle f(x)=\langle x,Ax\rangle +c.}$

${\displaystyle A}$ действительная, положительно определённая матрица, ${\displaystyle c}$ константа. Прежде всего убедимся, что сопряженное пространство, на котором определено преобразование Лежандра, совпадает с ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Для этого нам нужно убедиться в существовании экстремума функции ${\displaystyle \phi =\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c}$

${\displaystyle \nabla _{x}\phi =p-2Ax,}$

${\displaystyle \nabla _{x}\nabla _{x}\phi =-2A.}$

В силу положительной определённости матрицы ${\displaystyle A}$ , мы получаем, что точка экстремума является максимумом. Таким образом для каждого ${\displaystyle p}$ существует супремум. Вычисление преобразования Лежандра проводится непосредственно:

${\displaystyle f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.}$

Гамильтонова механика.

В лагранжевой механике система описывается функцией Лагранжа. Для типичной задачи функция Лагранжа выглядит следующим образом:

${\displaystyle L(q,u)={\frac {1}{2}}\langle u,Mu\rangle -V(q),}$

${\displaystyle (q,u)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$ , со стандартными, евклидовым скалярным произведением. Матрица ${\displaystyle M}$ считается действительной, положительно определённой. В том случае, когда лагранжиан не вырожден по скоростям, то есть

${\displaystyle p=\nabla _{u}L(q,u)\neq 0,}$

можно сделать преобразование Лежандра по скоростям и получить новую функцию, называемую гамильтонианом:

${\displaystyle H(p,q)=pq'-L={\frac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).}$

Термодинамика

В термодинамике очень часто встречаются самые разные термодинамические функции, дифференциал которых выглядит в самом общем случае как:

${\displaystyle dL=Xdx+Ydy+Zdz+...}$

К примеру, дифференциал для внутренней энергии выглядит следующим образом:

${\displaystyle dE=TdS-PdV.}$

Энергия тут представлена как функция переменных ${\displaystyle S}$ , ${\displaystyle V}$ . Подобные переменные называются естественными. Например, свободная энергия получается как преобразования Лежандра внутренней энергии:

${\displaystyle F=E-TS,}$

${\displaystyle dF=-SdT-PdV.}$

В общем случае, если мы хотим перейти от функции ${\displaystyle L=L(x,y,z,...)}$ к функции ${\displaystyle L=L(X,y,z,...)}$ , то следует сделать преобразование Лежандра:

${\displaystyle L(X,y,z,...)=L-xX,}$

${\displaystyle dL(X,y,z,...)=-xdX+Ydy+Zdz+...}$

Теория поля. Функциональное преобразование Лежандра.

В квантовой теории поля очень часто используется функциональное преобразование Лежандра. Исходным объектом являются связные функции Грина, которые обозначаются ${\displaystyle W(A)}$ , где ${\displaystyle A}$  — некоторые внешние поля. Преобразование Лежандра по полю А называют следующую функцию^[1]:

${\displaystyle \Gamma {(\alpha )}=W(A(\alpha ))-\int {dx\cdot \alpha A}.}$

Знак интегрирование обычно не пишут. ${\displaystyle \alpha }$ определяется следующим выражением^[1]:

${\displaystyle \alpha (x)={\frac {\delta {W}}{\delta {A(x)}}},}$

${\displaystyle \delta }$ означает вариационную производную. При помощи свойства вариационной производной несложно вывести следующее соотношение, связывающее ${\displaystyle W}$ и ${\displaystyle \Gamma }$ . Действительно:

${\displaystyle \delta (x-y)={\frac {\delta {A(x)}}{\delta {A(y)}}}=\int {dz{\frac {\delta {A(x)}}{\delta {\alpha (z)}}}{\frac {\delta {\alpha (z)}}{\delta {A(y)}}}}=-\int {dz{\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)}}{\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)}}}.}$

Другими словами, функционалы ${\displaystyle W_{2}={\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)}}}$ и ${\displaystyle \Gamma _{2}={\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)}}}$ , с точностью до знака, являются обратными друг к другу. Символически это записывают следующим образом:

${\displaystyle W_{2}\cdot \Gamma _{2}=-1.}$