WikiSort.ru - Не сортированное

Простой механический пример

Рассмотрим в рамках ньютоновской механики точечную частицу, способную перемещаться лишь по одной прямой (например, бусину, скользящую по гладкой спице). Будем описывать положение частицы на прямой единственным числом — координатой — x. Пусть на эту частицу действует (например, со стороны некоторой пружины) сила f, зависящая от положения частицы по закону Гука, то есть, выбрав удобное начало отсчёта x, можем записать f = — k x. В таком случае, учитывая второй закон Ньютона и кинематические соотношения, обозначив скорость как v, будем иметь следующие уравнения движения для нашей системы:

${\displaystyle dv/dt=-(k/m)x}$

${\displaystyle dx/dt=v}$ ,

или, исключая v из системы:

${\displaystyle d^{2}x/dt^{2}=-(k/m)x}$

Подставив начальную координату и скорость в правые части этих уравнений, и заменив бесконечно малое dt на малое, но конечное, ${\displaystyle \delta t}$ , и переписав приближённо в соответствии с этим уравнения в первой форме — в виде величина(${\displaystyle t+\delta t}$ ) = величина(t) + производная·${\displaystyle \delta t}$ , получим:

${\displaystyle v(t+\delta t)=v(t)-(k/m)x(t)\delta t}$

${\displaystyle x(t+\delta t)=x(t)+v(t)\delta t}$ ,

и, переходя от предыдущего момента к следующему (каждый раз время растёт на ${\displaystyle \delta t}$ ), можем получить численное решение этих уравнений движения в виде таблицы ${\displaystyle {x(0),v(0);x(\delta t),v(\delta t);x(2\delta t),v(2\delta t);\dots ;x(n\delta t),v(n\delta t);}}$ , приближенно представляющей зависимость x(t) и v(t) от времени (с шагом ${\displaystyle \delta t}$ ). Можно увидеть, что, если ${\displaystyle \delta t}$ было выбрано достаточно малым, что x(t) и v(t) очень близко совпадают с функцией ${\displaystyle const\cdot \cos({\sqrt {k/m}}\cdot t+const')}$ .

Использовав для догадки это приближённое решение или какие-то другие соображения, можем, если мы уже подозреваем, каким должно быть решение, просто подставить

${\displaystyle x=A\cos(\omega t+\phi )}$ ,

где ${\displaystyle A,\omega ,\phi }$  — просто постоянные, в точные уравнения движения, взяв нужные производные по времени от этого выражения. При этом мы сможем убедиться, что нетрудно подобрать конкретные значения ${\displaystyle A,\omega ,\phi }$ , чтобы равенство при этой подстановке выполнялось, а также найти необходимые для этого значения ${\displaystyle A,\omega ,\phi }$ (оказывается, ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \phi }$ могут быть любыми, а ${\displaystyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$ . Мы получили таким образом точное решение уравнений движения, да ещё и общее точное решение (то есть подходящее для любых начальных условий, в чём нетрудно убедиться).

Теперь, имея это общее точное решение, мы можем выбрать из множества общих решений (с разными ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \phi }$ ) частное решение, удовлетворяющее конкретным начальным условиям. Так мы решим задачу для заданного уравнения движения и начальных условий.

Так иллюстрируется понятие уравнения движения (уравнений движения) и их решения на конкретном простом примере.

Примеры уравнений движения в разных областях физики

• В классической механике

  Законы Ньютона

  (кроме собственно законов Ньютона — а именно второго — в уравнения движения ньютоновской механики входят кинематические уравнения и конкретные законы сил, такие, как например закон всемирного тяготения или закон Гука).

  Уравнения Эйлера-Лагранжа

  Уравнения Гамильтона

• В классической статистической механике:

  Уравнение Лиувилля

  Уравнение Боголюбова

  Уравнение Больцмана

  Уравнение Власова

• В классической теории поля:

  Уравнения Максвелла (могут быть записаны и использоваться в разной форме).

  Уравнение движения сплошной среды

• В квантовой механике (см. замечание в основной статье о возможных ограничениях применимости термина уравнения движения в этой области)

  Уравнение Шредингера

  Уравнение Гейзенберга

  Уравнение Линдблада

  Уравнение фон Неймана

  Уравнение Дирака