Эту статью следует сделать более понятной широкому кругу читателей. |
В математике, лагранжевой системой называется пара гладкого расслоения и лагранжевой плотности , которая определяет дифференциальный оператор Эйлера — Лагранжа, действующий на сечения расслоения .
В классической механике, многие динамические системы являются лагранжевыми. Конфигурационным пространством такой лагранжевой системы служит расслоение над осью времени (в частности, , если система отсчёта фиксирована). В классической теории поля, все полевые системы являются лагранжевыми.
Лагранжева плотность (или просто лагранжиан) порядка определяется как -форма, dim , на многообразии струй порядка сечений расслоения . Лагранжиан может быть введён как элемент вариационного бикомплекса дифференциальной градуированной алгебры внешних форм на многообразиях струй расслоения . Оператор кограницы этого бикомплекса содержит вариационный оператор , который, действуя на , определяет ассоциированный оператор Эйлера — Лагранжа . Относительно координат на расслоении и соответствующих координат ( , ) на многообразии струй лагранжиан и оператор Эйлера — Лагранжа имеют вид:
где
обозначают полные производные. Например, лагранжиан первого порядка и оператор Эйлера — Лагранжа второго порядка принимают форму
Ядро оператора Эйлера — Лагранжа задаёт уравнение Эйлера — Лагранжа .
Когомологии вариационного бикомплекса определяют так называемую вариационную формулу
где
- полный дифференциал и - эквивалент Лепажа лагранжиана . Первая и вторая теоремы Нётер являются следствиями этой вариационной формулы.
Будучи обобщённым на градуированные многообразия, вариационный бикомплекс описывает градуированные лагранжевы системы четных и нечётных переменных.
В другом варианте лагранжиан, оператор Эйлера — Лагранжа и уравнения Эйлера — Лагранжа вводятся в рамках вариационного исчисления.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .