WikiSort.ru - Не сортированное

Теоре́ма промежу́точной оси́, или теоре́ма те́ннисной раке́тки в классической механике — утверждение о неустойчивости вращения твёрдого тела относительно второй главной оси инерции. Является следствием законов классической механики, описывающих движение твёрдого тела с тремя различными главными моментами инерции. Проявление теоремы при вращении такого тела в невесомости часто называют эффектом Джанибекова, в честь советского космонавта Владимира Джанибекова, который заметил это явление 25 июня 1985 года, находясь на борту космической станции «Салют-7»^[1]. Статья, объясняющая эффект, была опубликована в 1991 году^[2]. В то же время сама теорема о неустойчивости вращения вокруг промежуточной оси инерции известна давно и доказывается в любом курсе классической механики^[3]. Неустойчивость такого вращения часто показывается в лекционных экспериментах.

Теорема описывает следующий эффект: вращение объекта относительно главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, в то время как вращение вокруг главной оси с промежуточным моментом инерции (откуда и название теорема промежуточной оси) — нет. Джанибеков увидел это с гайкой-барашком: скрутив её в невесомости с длинной шпильки, он заметил, что она пролетает немного, разворачивается на 180°, потом, ещё немного пролетев, опять разворачивается.

На Земле этот эффект можно увидеть на таком эксперименте: возьмите за ручку теннисную ракетку и попытайтесь подбросить её в воздух так, чтобы она выполнила полный оборот вокруг оси, проходящей в плоскости ракетки перпендикулярно рукоятке, и поймайте за ручку. Почти во всех случаях ракетка выполнит пол-оборота вдоль продольной оси и будет «смотреть» на вас другой стороной. Если подбрасывать ракетку и закручивать её по другим осям, то ракетка сохранит свою ориентацию после полного оборота.

Эксперимент может быть выполнен с любым объектом, который имеет три различных момента инерции, например с книгой или пультом дистанционного управления. Эффект возникает, когда ось вращения немного отличается от второй главной (принципиальной) оси объекта; сопротивлением воздуха или гравитацией можно пренебречь^[4].

Математическое обоснование

Теорема промежуточной оси может быть проанализирована с помощью уравнений Эйлера.

При свободном вращении они принимают следующую форму:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}}$

Здесь ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$ обозначают главные моменты инерции, и мы предполагаем, что ${\displaystyle I_{1}>I_{2}>I_{3}}$ . Угловые скорости трёх главных осей — ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}}$ , их производные по времени — ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}}$ .

Рассмотрим ситуацию, когда объект вращается вокруг оси с моментом инерции ${\displaystyle I_{1}}$ . Для определения характера равновесия, предположим, что существуют две малые начальные угловые скорости вдоль других двух осей. В результате, согласно уравнению (1), ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{1}}$ очень мала. Следовательно, зависимостью от времени ${\displaystyle \omega _{1}}$ можно пренебречь.

Теперь дифференцируем уравнение (2) и подставим ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$ из уравнения (3):

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{2})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\\end{aligned}}}$

Обратим внимание, что знаки у ${\displaystyle \omega _{2}}$ и ${\displaystyle {\ddot {\omega }}_{2}}$ разные. Следовательно, изначально малая скорость ${\displaystyle \omega _{2}}$ будет оставаться малой и в дальнейшем. Дифференцируя уравнение (3), можно доказать и устойчивость относительно возмущения ${\displaystyle \omega _{3}}$ . Поскольку обе скорости ${\displaystyle \omega _{2}}$ и ${\displaystyle \omega _{3}}$ остаются малыми, малой остаётся и ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{1}}$ . Поэтому вращение вокруг оси 1 происходит с постоянной скоростью.

Аналогичное рассуждение показывает, что вращение вокруг оси с моментом инерции ${\displaystyle I_{3}}$ тоже устойчиво.

Теперь применим эти рассуждения к случаю вращения относительно оси с моментом инерции ${\displaystyle I_{2}}$ . В этот раз ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}}$ очень мала. Следовательно, зависимостью от времени ${\displaystyle \omega _{2}}$ можно пренебречь.

Теперь дифференцируем уравнение (1) и подставим ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$ из уравнения (3):

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{2})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\\end{aligned}}}$

Обратим внимание, что знаки у ${\displaystyle \omega _{1}}$ и ${\displaystyle {\ddot {\omega }}_{1}}$ одинаковые. Следовательно, изначально малая скорость ${\displaystyle \omega _{1}}$ будет экспоненциально нарастать до тех пор, пока ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}}$ не перестанет быть малой и характер вращения вокруг оси 2 не изменится. Таким образом, даже небольшие возмущения вдоль других осей заставляют объект «переворачиваться».

Движение по сепаратрисе

Как и в случае с маятником движение по сепаратрисе (так называемое строго критическое движение) будет непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени гайка Джанибекова начинает вращаться строго вокруг средней оси инерции. Затем она получает отклонение и совершает кувырок.^[5]

Примечательно, что при таком движении в теле есть ось (так называемая Ось Галуа), которая вращается равномерно, а само тело совершает колебания вокруг этой оси с бесконечно большим периодом подобно математическому маятнику. Ось Галуа фиксирована в твёрдом теле и располагается в плоскости, ортогональной оси с промежуточным моментом инерции. Точнее, она располагается перпендикулярно круговым сечениям эллипсоида Мак-Куллага^[en].^[6]

См. также

• Кельтский камень
• Эйлеровы углы
• Момент инерции
• Эллипсоид инерции

Примечания

Ссылки

• Демонстрация эффекта — орбитальная станция «Мир», Александр Серебров, показано в передаче из цикла «Уроки из космоса», выпущенной в 1997 году
• Видео эффекта Джанибекова с Международной космической станции, демонстрируется членами экипажа МКС-30 Антоном Шкаплеровым и Дэниелом Бёрбэнком
• Замедленное видео, демонстрирующее вращение ракетки для настольного тенниса
• Демонстрация эффекта Джанибекова, смоделированная с использованием Blender, также доступны исходники демонстрации