WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Дзета-функция Хассе-Вейля - аналог дзета-функции Римана, который строится более сложным образом из количества точек многообразия в конечном поле. Это комплексная аналитическая функция, для эллиптических кривых её поведение около точки 1 тесно связано с группой рациональных точек этой эллиптической кривой.

Дзета-функция Хассе-Вейля как глобальная L-функция

Дзета-функция Хассе-Вейля, присоединенная к алгебраическому многообразию , определенному над полем алгебраических чисел , является одним двух наиболее важных типов L-функций. Такие L-функции называются глобальными, поскольку они определяются как произведение Эйлера локальных дзета-функций. Они образуют один из двух основных классов глобальных L-функций, а другой - L-функции, связанные с автоморфными представлениями. Гипотетически предполагается, что существует только один существенный тип глобальной L-функции с двумя описаниями (одно из них исходит из алгебраического многообразия, другое - из автоморфного представления); это было бы обширным обобщением гипотезы Таниямы-Симуры, самого глубокого и недавнего результата (на 2009-й год) в теории чисел.

Описание дзета-функции Хассе-Вейля с точностью до конечного числа множителей его эйлерового произведения относительно просто. Это получилось из начальных рассмотрений Хассе и Вейля, мотивированными случаем, когда - это единственная точка, а дзета функция Римана.

Взяв случай и - неособое проективное многообразие, мы можем для почти всех простых чисел рассмотреть редукцию по модулю , то есть алгебраическое многообразие над конечным полем . Для почти всех будет неособым. Мы определяем как ряд Дирихле комплексной переменной , который является бесконечным произведением по всем простым числам локальных дзета-функций . Тогда , согласно нашему определению, хорошо определено только с точностью до умножения на рациональную функцию от в конечного числа аргументов вида .

Так как эта неопределенность относительно безвредна и имеет мероморфное продолжение всюду, то существует смысл, в котором свойства существенно не зависят от него. В частности, хотя точная форма функционального уравнения для , определенно будет зависеть от пропущенных множителей, но существование такого функционального уравнения от этих множителей зависеть не будет.

Более четкое определение дзета-функции Хассе-Вейля стало возможным благодаря развитию этальных когомологий; они аккуратно объясняют, что делать с недостающими множителями с плохой редукцией. В соответствии с общими принципами, видимыми в теории ветвления, простые с плохой редукцией несут хорошую информацию (теория кондуктора). Это проявляется в теории эталей в критерий Огга-Нерона-Шафаревича для хорошей редукции, а именно, что в определенном смысле существует хорошая редукция во всех простых числах , для которых представление Галуа на этальной когомологии группы является неразветвленным. Для них определение локальной дзета-функции можно восстановить в терминах характеристического многочлена где - эндоморфизм Фробениуса для . Что происходит при разветвленном , так это то, что нетривиально в группе инерции . Для таких простых определение должно быть исправлено, взяв наибольшее частное от представления , на котором группа инерции действует тривиальным представлением. С этим уточнением определение может быть успешно модернизировано с почти всех до всех , участвующих в произведении Эйлера. Следствия из функционального уравнения были разработаны Серром и Делинем в конце 1960-х годов; само функциональное уравнение вообще не доказано.

Пример: эллиптическая кривая над полем рациональных чисел

Пусть - эллиптическая кривая над c кондуктором , а - произвольное простое число. Тогда имеет хорошую редукцию при всех , не делящих , имеет мультипликативную редукцию в случае, если делит , но не делит , и имеет аддитивную редукцию в прочих случаях (т. е. если делит ). Тогда дзета-функция Хассе-Вейля от принимает вид

Здесь - обычная дзета-функция Римана, а называется L - функцией , которая имеет вид

где для данного ,

где, в случае хорошего редукции , а в случае мультипликативной редукции в зависимости от того, разделен ли или нерасщепленной мультипликативной редукцией в .

Гипотеза Хассе-Вейля

Гипотеза Хассе-Вейля утверждает, что дзета-функция Хассе-Вейля должна аналитически продолжаться на мероморфную функцию на всю комплексную плоскость и должна удовлетворять функциональному уравнению, аналогичному функциональному уравнению для дзета-функции Римана. Для эллиптических кривых над рациональными числами гипотеза Хассе-Вейля следует из теоремы модулярности.

См. также

Литература

  • Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы = Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — Новокузнецк: ИО НФМИ, 2000. — С. 99. — 312 с. ISBN 5-8032-3325-0.
  • [Сб. работ под редакцией Дж.Берштайна и Ст.Гелбарта Введение в программу Ленглендса] = An Introduction to the Langlands Program. — Москва, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2008. — С. 118. — 368 с. ISBN 978-5-93972-697-9.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .




Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии