WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

4-тензоры, четырёхте́нзоры — класс математических объектов, используемый для описания некоторых физических полей в релятивистской физике, тензор, определённый на четырёхмерном пространстве-времени^[1].

Замечание: в литературе 4-тензоры часто называются просто тензорами, а размерность и природа векторного пространства (многообразия), на котором они заданы в этом случае оговариваются явно или очевидны из контекста.

В общем случае 4-тензор является объектом с набором индексов:

A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\ldots j_{m}},

причём каждый из индексов принимает четыре значения (обычно от нуля до трёх или от одного до четырёх, то есть $i_{1}=0,1,2,3,i_{2}=0,1,2,3$ итд.

При смене системы отсчёта компоненты этого объекта преобразуются так^[2]:

A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{\prime j_{1}j_{2}\ldots j_{m}}=\beta _{j_{1}k_{1}}\beta _{j_{2}k_{2}}\ldots \beta _{j_{m}k_{m}}\alpha _{i_{1}l_{1}}\alpha _{i_{2}l_{2}}\ldots \alpha _{i_{n}l_{n}}A_{l_{1}l_{2}\ldots l_{n}}^{k_{1}k_{2}\ldots k_{m}}

,

где $\alpha _{ij}$ — матрица поворота в четырёхмерном пространстве-времени (матрица группы Лоренца), а $\beta _{ij}$ — обратная ей.

Верхние индексы называются контравариантными, а нижние — ковариантными. Суммарное число индексов задаёт ранг тензора. 4-вектор является 4-тензором первого ранга.

Обычно в физике тензоры одинаковой природы с разным числом ковариантных и контравариантных индексов считаются различными представлениями одного и того же объекта. Опускание или поднимание индекса проводится с помощью метрического тензора ${\hat {g}}$ , например для 4-тензора второго ранга

A^{ij}=g^{jk}A_{k}^{i}

Алгебра внешнего произведения позволяет также вводить для антисимметричных тензоров родственные им дуальные тензоры.

Преимущества четырёхмерной записи

Уравнения теории относительности, электродинамики, и многих современных фундаментальных теорий, включающих их, особенно удобно записывать, используя 4-векторы и 4-тензоры. Главным преимуществом такой записи есть то, что в этой форме уравнения автоматически лоренц-инвариантны, то есть не изменяются при переходе от одной инерциальной системы координат к другой.

Примеры

4-тензоры в ОТО

метрический тензор (играет определённую техническую роль и в отсутствии гравитационных полей, то есть часто применяется и за рамками ОТО, однако в этом случае он - обычно - имеет очень частный вид лоренцевой метрики).
тензор кривизны
тензор Риччи
тензор энергии-импульса (достаточно широко применим и вне ОТО).

4-тензор электромагнитного поля

Соответствующий 4-тензор существует также и для описания электромагнитного поля. Это 4-тензор второго ранга. При его использовании основные уравнения для электромагнитного поля: уравнение Максвелла и уравнение движения заряженной частицы в поле имеют особенно простую и элегантную форму.

Определение через 4-потенциал

4-тензор определяется через производные от 4-потенциала^[3]:

F_{ik}={\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}

.

Определение через трёхмерные векторы

4-тензор определяется через обычные трёхмерные составные векторов напряжённости следующим образом:

F_{ik}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)

F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)

Первая форма — это ковариантный тензор, а вторая форма — это контравариантный тензор.

Сила Лоренца

Записанное в 4-векторной форме уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле приобретает вид

mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {q}{c}}F^{ik}u_{k}

,

где $u^{k}$ — 4-скорость, q — электрический заряд частицы, c — скорость света, m — масса. Правая часть этого уравнения — это сила Лоренца.

См. также

Примечания

↑ повороты системы отсчёта в котором включают как обычные повороты в трёхмерном пространстве, так и переходы между системами отсчёта, которые движутся с разными скоростями одна относительно другой (преобразования Лоренца).
↑ Здесь, как принято в теории относительности, знак суммы опускается — повторение индекса внизу и вверху значит суммирование; см. Соглашение Эйнштейна о суммировании.
↑ Формулы на этой странице записаны в системе СГСГ

Внешние ссылки

Глава 8 Релятивистская динамика 8.8. Свойства тензоров и момент импульса частицы (неопр.) (недоступная ссылка — история ). Проверено 10 июня 2009. (недоступная ссылка)
ЛЕКЦИЯ 20 Четырехмерные векторы и тензоры II ранга. (неопр.) (недоступная ссылка). Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе (22 февраля 2002 года). Проверено 10 июня 2009. Архивировано 29 ноября 2004 года.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] повороты системы отсчёта в котором включают как обычные повороты в трёхмерном пространстве, так и переходы между системами отсчёта, которые движутся с разными скоростями одна относительно другой (преобразования Лоренца).

[2] Здесь, как принято в теории относительности, знак суммы опускается — повторение индекса внизу и вверху значит суммирование; см. Соглашение Эйнштейна о суммировании.

[3] Формулы на этой странице записаны в системе СГСГ