WikiSort.ru - Не сортированное

Эндоморфизм Фробениуса — эндоморфизм коммутативного кольца простой характеристики p, задаётся формулой ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ . В некоторых случаях, например, в случае конечного поля, эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом, однако в общем случае это не так.

Определение и базовые свойства

Пусть R — коммутативное кольцо простой характеристики p (в частности, таким является любое целостное кольцо ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца R определяется формулой ${\displaystyle F(x)=x^{p}}$ . Эндоморфизм Фробениуса действительно является гомоморфизмом колец, так как ${\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p},(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$ (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле бинома Ньютона и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делятся на p).

Если ${\displaystyle \varphi :R\to S}$  — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики p, то ${\displaystyle \varphi (x^{p})=(\varphi (x))^{p}}$ , то есть: ${\displaystyle \varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi }$ .

Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием тождественного функтора (на категории коммутативных колец характеристики p) в себя.

Если кольцо R не содержит нетривиальных нильпотентов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен (так как его ядро нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если ${\displaystyle x}$  — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени ${\displaystyle n}$ , то ${\displaystyle (x^{n-1})^{p}=0}$ . Эндоморфизм Фробениуса не обязательно сюръективен, даже если R является полем. Например, пусть ${\displaystyle R=\mathbb {F} _{p}(t)}$  — поле рациональных функций с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ , тогда функция ${\displaystyle t}$ не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.

Поле K называется совершенным, если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являются совершенными.

Неподвижные точки

Рассмотрим конечное поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ . Согласно малой теореме Ферма, все элементы этого поля удовлетворяют уравнению ${\displaystyle x^{p}=x}$ . Уравнение p-й степени не может иметь более p корней, следовательно, в любом расширении поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ . Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики p.

Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$  — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению ${\displaystyle x^{p^{k}}=x}$ и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками k-й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками ${\displaystyle x\mapsto x^{p^{k}}}$ .

Порождающий элемент группы Галуа

Группа Галуа конечного расширения конечного поля является циклической и порождается степенью эндоморфизма Фробениуса. Рассмотрим сначала случай, когда основное поле является простым. Пусть ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$  — конечное поле, где ${\displaystyle q=p^{n}}$ . Эндоморфизм Фробениуса ${\displaystyle F}$ сохраняет элементы простого поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ , поэтому он является элементом группы Галуа расширения ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}\supset \mathbb {F} _{p}}$ . Оказывается, что эта группа является циклической и порождается ${\displaystyle F}$ . Порядок этой группы равен ${\displaystyle n}$ , так как эндоморфизм ${\displaystyle x\mapsto x^{q}}$ действует на ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ тождественно, а меньшие степени не могут действовать тождественно.

В расширении ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{k}}\supset \mathbb {F} _{q}}$ основное поле фиксируется n-й степенью эндоморфизма Фробениуса, группа Галуа расширения порождается ${\displaystyle F^{n}}$ и имеет порядок ${\displaystyle k}$ .

Эндоморфизм Фробениуса для схем

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 30 июня 2014 года.

См. также

• Первообразный корень из единицы

Литература

• Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998.
• Фробениуса автоморфизм — статья из Математической энциклопедии. Л. В. Кузьмин
• Фробениуса эндоморфзим — статья из Математической энциклопедии. Л. В. Кузьмин