WikiSort.ru - Не сортированное

Нильпотентный элемент или нильпотент ― элемент ${\displaystyle a}$ кольца, удовлетворяющий равенству ${\displaystyle a^{n}=0}$ для некоторого натурального ${\displaystyle n}$ . Минимальное значение ${\displaystyle n}$ , для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента ${\displaystyle a}$ .

Рассмотрение нильпотентов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, т. к. они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Примеры

• В кольце вычетов по модулю ${\displaystyle p^{n}}$ , где ${\displaystyle p}$ ― некоторое простое число, класс вычетов числа ${\displaystyle p}$ ― нильпотент индекса ${\displaystyle n}$ ,
• Матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

является нильпотентом индекса ${\displaystyle 2}$ в кольце ${\displaystyle 2\times 2}$ -матриц

Связанные определения

• элемент кольца ${\displaystyle u}$ называется унипотентным (или унипотентом) если ${\displaystyle u-1}$ является нильпотентным,
  • Например, унипотентной является матрица

    ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

Свойства

• Если ${\displaystyle a}$ ― нильпотентный элемент индекса n, то справедливо равенство

${\displaystyle 1=(1-a)(1+a+a^{2}+\cdots +a^{n-1})}$ ,

т. е. элемент ${\displaystyle (1-a)}$ обратим и обратный к нему элемент записывается в виде многочлена от ${\displaystyle a}$ .

• В коммутативном кольце элемент а нильпотентен тогда и только тогда, когда он содержится во всех простых идеалах.
• Все нильпотентные элементы образуют идеал ${\displaystyle J}$ , называемым нильрадикалом кольца совпадающий с пересечением всех простых идеалов. Кольцо ${\displaystyle A/J}$ уже не имеет нильпотентных элементов, отличных от нуля.
• При интерпретации коммутативного кольца как кольца функций на пространстве его спектре нильпотентам соответствуют функции, тождественно равные нулю.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 мая 2011 года.