WikiSort.ru - Не сортированное

В общей алгебре, поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1) Любой неприводимый многочлен над k имеет различные корни в алгебраическом замыкании k.

2) Каждое конечное расширение k является сепарабельным.

3) Каждое алгебраическое расширение k является сепарабельным.

4) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и каждый элемент k является p-й степенью.

5) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом.

6) k совпадает со множеством неподвижных точек k-автоморфизмов алгебраического замыкания k.

В противном случае поле называется несовершенным.

Совершенные поля полезны тем, что теория Галуа над ними становится значительно проще, так как условие сепарабельности расширений поля выполняется автоматически.

Более общо, кольцо характеристики p называется совершенным, если эндоморфизм Фробениуса для него является автоморфизмом.^[1] (В случае целостных колец это эквивалентно условию "каждый элемент является p-й степенью).

Примеры

• Все поля характеристики ноль являются совершенными, например, поле рациональных чисел.
• Все конечные поля.
• Все алгебраически замкнутые поля.
• Алгебраические расширения совершенного поля также являются совершенными.

Большинство полей, появляющихся на практике, совершенные. Примеры несовершенных полей доставляет алгебраическая геометрия в характеристике p > 0. Например, поле рациональных функций от одной переменной над полем характеристики p является несовершенным, так как в этом поле отсутствует p-й корень из x.

Совершенное замыкание

В характеристике p > 0 можно «сделать» поле k совершенным, добавив к нему корни p^r-й степени (r≥1) из всех элементов. Получившееся поле называется совершенным замыканием k и обычно обозначается ${\displaystyle k^{p^{-\infty }}}$ .

В терминах универсального свойства, совершенное замыкание кольца ${\displaystyle A}$ характеристики ${\displaystyle p}$  — это совершенное кольцо ${\displaystyle A_{p}}$ характеристики ${\displaystyle p}$ вместе с гомоморфизмом колец ${\displaystyle u:A\to A_{p}}$ , таким что для любого совершенного кольца ${\displaystyle B}$ характеристики ${\displaystyle p}$ с гомоморфизмом ${\displaystyle v:B\to A_{p}}$ существует единственный гомоморфизм ${\displaystyle f:A_{p}\to B}$ , такой что ${\displaystyle v=f\circ u}$ . Совершенное замыкание существует для любого кольца^[2], следовательно, функтор совершенного замыкания существует и является левым сопряженным забывающего функтора из категории совершенных колец в категорию колец.

Примечания

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
• Bourbaki, Nicolas (2003), Algebra II, Springer, ISBN 978-3-540-00706-7 
• Brinon, Olivier & Conrad, Brian (2009), CMI Summer School notes on p-adic Hodge theory, <http://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf>. Проверено 5 февраля 2010. 
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, vol. 67 (2 ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90424-5 
• Cohn, P.M. (2003), Basic Algebra: Groups, Rings and Fields 
• Matsumura, H (2003), Commutative ring theory, vol. 8 (2nd ed.), Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics