WikiSort.ru - Не сортированное

Прямое преобразование

Преобразование Хартли ${\displaystyle H(\omega )}$ рассчитывается по формуле

${\displaystyle H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t,}$

где

${\displaystyle {\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+{\frac {\pi }{4}})={\sqrt {2}}\cos(t-{\frac {\pi }{4}})}$  — ядро Хартли.

Обратное преобразование

Обратное преобразование получается по принципу инволюции:

${\displaystyle f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}}$

Уточнения

• Вместо того, чтобы использовать одинаковые формулы для прямого и обратного преобразования, можно ввести коэффициент ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$ для обратного и вынести тот же коэффициент из прямого преобразования Хартли. Этот способ называется асимметричной нормализацией;
• Можно использовать коэффициент ${\displaystyle 2\pi \nu t}$ вместо ${\displaystyle \omega t}$ , полностью опустив коэффициент ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$ ;
• Можно использовать вычитание косинуса и синуса вместо их суммы.

Cas

Свойства ядра Хартли вытекают из свойств тригонометрических функций. Так как

${\displaystyle {\mbox{cas}}(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4),}$

то

${\displaystyle 2{\mbox{cas}}(a+b)={\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)-{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(-b)}$ и

${\displaystyle {\mbox{cas}}(a+b)=\cos(a){\mbox{cas}}(b)+\sin(a){\mbox{cas}}(-b)=\cos(b){\mbox{cas}}(a)+\sin(b){\mbox{cas}}(-a)}$

Производная ядра равна

${\displaystyle {\mbox{cas}}'(a)={\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}a}}{\mbox{cas}}(a)=\cos(a)-\sin(a)={\mbox{cas}}(-a)}$