WikiSort.ru - Не сортированное

Свойства

В любом треугольнике вершина и точка касания вневписанной окружности на противоположной стороне делят периметр треугольника на две равные части, то есть на два пути, длина каждого из которых равна полупериметру. На рисунке показаны стороны A, B, C и точки касания A', B', C', тогда

${\displaystyle s=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|}$

${\displaystyle =|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.}$

Три отрезка, соединяющих вершины с противоположными точками касания, пересекаются в одной точке — точке Нагеля.

Если рассмотреть отрезки, соединяющие середины сторон с точками, отстоящими (вдоль сторон) от этой середины на полупериметр, то эти отрезки пересекаются в одной точке — центре окружности Шпикера, которая является окружностью, вписанной в медианный треугольник^[en]. Центр Шпикера является центром тяжести сторон треугольника.

Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника делит периметр пополам в том и только в том случае, когда она делит пополам площадь.

Полупериметр треугольника равен периметру его медианного треугольника^[en].

Из неравенства треугольника вытекает, что длина наибольшей стороны треугольника не превосходит полупериметр.

Формулы с полупериметром

Площадь K любого треугольника является произведением радиуса его вписанной окружности и полупериметра:

${\displaystyle K=rs.}$

Площадь треугольника можно вычислить исходя из его полупериметра и длин сторон a, b, c по формуле Герона:

${\displaystyle K={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.}$

Радиус описанной окружности R треугольника можно также вычислить из его полупериметра и длин сторон:

${\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}.}$

Эту формулу можно вывести из теоремы синусов.

Радиус вписанной окружности равен

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.}$

Теорема котангенсов даёт котангенсы половин углов в вершинах треугольника в терминах полупериметра, сторон и радиуса вписанной окрухности.

Длина биссектрисы внутреннего угла, противоположного стороне a, равна^[1]

${\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}.}$

В прямоугольном треугольнике радиус вневписанной окружности на гипотенузе равен полупериметру. Полупериметр равен сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного радиуса описанной. Площадь прямоугольного треугольника равна ${\displaystyle (s-a)(s-b)}$ , где a и b — катеты.