WikiSort.ru - Не сортированное

Фазовые траектории

При помощи уравнений траектории в фазовом пространстве (фазовой плоскости) для исследуемой системы строят интегральные кривые, — т.е. кривые в фазовом пространстве такие, что в каждой их точке касательная имеет наклон, задаваемый уравнением траектории. Геометрическое построение интегральных кривых называют «качественным интегрированием уравнений».^[2]

Понятия «интегральная кривая» и «фазовая траектория» в общем случае следует различать, «так как может случиться, что одна интегральная кривая состоит не из одной, а сразу из нескольких фазовых траекторий».^[3]

Картину кривых в фазовом пространстве (на фазовой плоскости) можно описать:

• либо одним уравнением — в координатной форме, т.е. при помощи уравнений, которые не содержат времени, — и изучать с его помощью интегральные кривые,
• либо описывать системой уравнений в параметрической форме, — где независимая переменная ${\displaystyle t}$ , время, выполняет роль параметра — и изучать фазовые траектории.^[4]

Необходимость различения этих двух способов изображения одного и того же семейства кривых^ru_en можно продемонстрировать на примере простейшей консервативной системы, описываемой уравнением ${\displaystyle {\ddot {x}}=f(x)}$ : в этом случае для особой точки условия теоремы Коши окажутся нарушенными при рассмотрении координатного уравнения, но будут выполнены для уравнения, записанного в параметрической форме.^[4]

Целой фазовой траекторией называют ту кривую в фазовом пространстве, которую описывает изображающая точка за всё время своего движения (от ${\displaystyle t=-\infty }$ до ${\displaystyle t=+\infty }$ ).^[3]

Фазовый портрет

Фазовый портрет исследуемой системы — это совокупность фазовых траекторий для всевозможных начальных условий.^[3] Его можно рассматривать как интегральное многообразие^ru_en.^{[A: 3]}

Поскольку при изучении поведения системы интересуются прежде всего стационарными движениями в системе,^[2] то фазовый портрет можно также рассматривать как разбиение фазового пространства на области притяжения стационарных решений.^{[A: 1]}

Классификацию характера особых точек системы уравнений можно провести на основании особенностей фазового портрета, поскольку как минимум для некоторых систем каждая особая точка системы дифференциальных уравнений является также и особой точкой в смысле, употребляемом в дифференциальной геометрии.^[4]

Ф.п. обычно как-то деформируется при изменении параметров системы. Качественному изменению ф.п. соответствует исчезновение существующих и рождение новых стационарных решений, — и такое изменение ф.п. называют бифуркационной ситуацией.^{[A: 1]}

Для удобства, изучение фазового портрета системы разделяют^[4] на исследование характера движений системы:

• вблизи состояний равновесия,
• на всей фазовой плоскости.

При изучении фазового портрета интересует прежде всего общая топологическая картина движений на фазовой плоскости.^[4]

Фазовая скорость

Фазовая скорость — это скорость изменения состояния системы; она соответствует скорости движения изображающей точки в фазовом пространстве.^[4]

Для вычисления величины фазовой скорости вводят понятие «фазовый радиус-вектор», как это делается в классической механике.^[3]

К примеру, для простейшей консервативной системы, описываемой уравнением ${\displaystyle {\ddot {x}}=f(x)}$ , скорость изображающей точки вычисляется как:

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {i} y+\mathbf {j} f(x)}$

и будет всюду определена однозначно, и обращается в ноль только в особой точке.^[4] Модуль фазовой скорости в этом случае будет вычисляться как:

${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}={\sqrt {y^{2}+\left[f(x)\right]^{2}}}}$ ,

где:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=y}$  и  ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(x)}$ .

Вычисление фазовой скоростью даёт возможность более точно прослеживать изменения в системе. Так, к примеру, в случае бифуркации седло—узел можно обнаружить область состояний системы, в которой происходит значительное уменьшение модуля фазовой скорости.^{[A: 1]}

Механические системы

В классической механике фазовыми пространствами служат гладкие многообразия. В случае механических систем это пространство четной размерности, координатами в котором являются обычные пространственные координаты (или обобщённые координаты) частиц системы и их импульсы (или обобщённые импульсы). Кроме того, в механике движение изображающей точки определяется сравнительно простыми уравнениями Гамильтона, анализ которых позволяет делать заключения о поведении сложных механических систем.^[5]

Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых — это три обычные координаты, а ещё три — это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек будет содержать 12 измерений и т. д.

Термодинамика и статистическая механика

В термодинамике и статистической механике термин «фазовое пространство» имеет два значения: 1) он используется в том же смысле, что и в классической механике; 2) он может также относиться к пространству, которое параметризуется макроскопическими состояниями системы, такими как давление, температура и т.д.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Динамические системы

В теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений фазовое пространство является более общим понятием. Оно не обязательно чётномерно и динамика в нём не обязательно задаётся уравнениями Гамильтона.^{[источник не указан 579 дней]}

Случай нескольких систем

Если взять в рассмотрение несколько одинаковых систем, надо задать несколько точек в фазовом пространстве. Совокупность таких систем называют статистическим ансамблем. По теореме Лиувилля, замкнутая кривая (или поверхность), состоящая из точек фазового пространства гамильтоновой системы эволюционирует так, что площадь (или объем) заключенного в ней фазового пространства сохраняется во времени.^{[источник не указан 579 дней]}

Гармонический осциллятор

Простейшая автономная колебательная система получила название «гармонический осциллятор»; её динамика описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.}$

Такая система совершает периодические синусоидальные (гармонические) движения; колебательное движение не возникает лишь в случае ${\displaystyle x_{0}=0}$ и ${\displaystyle {\dot {x}}_{0}=0}$ , т.е. когда осциллятор в начальный момент находится в состоянии равновесия — в этом случае он продолжает и дальше в нём оставаться. Координатное уравнение фазовой траектории такой системы задаёт интегральные кривые в виде семейства подобных (с постоянным соотношением осей) эллипсов, причём через каждую точку ф.п. проходит один и только один эллипс. Указанное состояние равновесия является особой точкой этой системы, — а именно центром.^[3]

Квантовый осциллятор

Фазовое пространство состояний квантового осциллятора позволяет описать квантовый шум усилителя в терминах неопределенностей эрмитовой и анти-эрмитовой компонент поля; при этом не требуется предположение о линейности преобразования фазового пространства, осуществляемого усилителем.^{[A: 4]} Производные передаточной функции усилителя определяют ограничение снизу на уровень квантового шума. Грубо говоря, чем более сложным является преобразование, тем больше квантовый шум.

Фазовое пространство позволяет построить единый формализм для классической и квантовой механики.^{[A: 5]} Оператор эволюции формулируется в терминах скобки Пуассона; в квантовом случае эта скобка является обычным коммутатором. При этом классическая и квантовая механика строятся на одних и тех же аксиомах; они формулируются в терминах, которые имеют смысл как в классической, так и в квантовой механике.

Теория хаоса

Классическими примерами фазовых диаграмм из теории хаоса являются:

• Аттрактор Лоренца
• Рост населения (т.е. логистическое отображение)
• Параметрическая плоскость комплексных квадратичных многочленов^ru_en с множеством Мандельброта.

Оптика

Фазовое пространство широко используется в неизображающей оптике^ru_en,^{[B: 3]} — ответвление оптики, посвященное освещению и солнечным батареям. Это также важное понятие в гамильтоновой оптике^ru_en.