WikiSort.ru - Не сортированное

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент ${\displaystyle t}$ системы не входит явным образом в функции, задающие систему.

Автономная система в нормальном виде имеет вид:
${\displaystyle {\frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},...,x_{n}),\,k=1,...,n}$

или в векторной записи:
${\displaystyle {\frac {d{\bar {x}}}{dt}}={\bar {f}}({\bar {x}})}$

Приведение к автономному виду

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию ${\displaystyle x_{n+1}}$ , заменив ею аргумент ${\displaystyle t}$ там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением ${\displaystyle {\frac {dx_{n+1}}{dt}}=1}$ . Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с ${\displaystyle n}$ на ${\displaystyle n+1}$ , что усложняет структуру семейства решений.

Свойства автономной системы

Если ${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {x}}(t)}$  — решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, то есть процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, то есть процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, то есть ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ , и не зависят от выбора начального значения аргумента ${\displaystyle t}$ .

См. также

• Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
• Однозначная разрешимость задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений
• Отклонение решений автономной системы

Ссылки

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.