Логистическое отображение (также квадратичное отображение или отображение Фейгенбаума) — это полиномиальноеотображение, которое описывает, как меняется численность популяции с течением времени. Его часто приводят в пример того, как из очень простых нелинейных уравнений может возникать сложное, хаотическое поведение. Логистическое отображение — дискретный аналог непрерывного логистического уравненияФерхюльста; оно отражает тот факт, что прирост популяции происходит в дискретные моменты времени.
принимает значения от 0 до 1 и отражает численность популяции в -ом году, а обозначает начальную численность (в год номер 0);
— положительный параметр, характеризующий скорость размножения (роста) популяции.
Иногда эта формулировка называется отображением Ферхюльста (или Ферхюльста-Пирла), а логистическим отображением называется другая, но эквивалентная по свойствам формула[2]:
Это нелинейное отображение описывает два эффекта:
с одной стороны, когда численность популяции мала, она размножается со скоростью, пропорциональной этой численности;
с другой стороны, поскольку популяция обитает в среде с ограниченной «ёмкостью», то при росте плотности популяции скорость размножения падает, возрастает конкуренция и смертность.
Одним из недостатков использования отображения в качестве демографической модели является тот факт, что при некоторых начальных значениях и величинах параметров отображение даёт отрицательные значения численности популяции. Этого недостатка лишена дискретная модель Рикера, которая также демонстрирует хаотическое поведение.
Зависимость поведения от параметра
При изменении значения параметра , в системе наблюдается следующее поведение [3].
Если больше 0 и меньше 1, популяция в конце концов вымрет, независимо от начальных условий.
Если больше 1 и меньше 2, численность популяции быстро выйдет на стационарное значение , независимо от начальных условий.
Если больше 2 и меньше 3, численность популяции точно так же придёт к тому же стационарному значению , но вначале будет несколько колебаться вокруг него. Скорость сходимости линейна везде, кроме значения =3, при котором она крайне мала, меньше линейной.
Если больше 3 и меньше (приблизительно 3.45), численность популяции будет бесконечно колебаться между двумя значениями.
Если больше 3.45 и меньше 3.54 (приблизительно), то численность популяции будет бесконечно колебаться между четырьмя значениями.
При значении больше 3.54, численность популяции будет колебаться между 8 значениями, потом 16, 32 и так далее. Длина интервала изменения параметра, при котором наблюдаются колебания между одинаковым количеством значений, уменьшается по мере увеличения . Отношение между двумя длинами смежных интервалов стремится к константе Фейгенбаума, равной δ ≈ 4.669... Подобное поведение является типичным примером каскада бифуркаций удвоения периода.
При значении приблизительно равном 3.57, начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения.
Большинство значений, превышающих 3.57 демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные «окна» значений , при которых система ведет себя регулярно, обычно их называют «окнами периодичности». К примеру, начиная со значения (приблизительно 3.83), существует интервал параметров , при котором наблюдаются колебания между тремя значениями, а для больших значений — между 6, потом 12 и т. д. Фактически, в системе можно найти периодические колебания с любым количеством значений. Последовательность смены количества значений удовлетворяет порядку Шарковского.
При > 4, значения отображения покидают интервал [0,1] и расходятся при любых начальных условиях.
Итог вышеперечисленного приведен на бифуркационной диаграмме. По оси абсцисс отложены значения параметра , а по оси ординат — принимаемые на больших временах значения .
Структура бифуркационной диаграммы самоподобна: если увеличить область, к примеру, при значении = 3.82 в одном из трех ответвлений, то можно увидеть, что тонкая структура этой области выглядит, как искаженная и размытая версия всей диаграммы. То же самое верно для любой окрестности нехаотических точек. Это пример глубокой связи между хаотическими системами и фракталами.
Программа для построения бифуркационной диаграммы
Следующая программа на языке Python строит бифуркационную диаграмму.
Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.
2019-2024 WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии