Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение её состояний.
В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.
Линейные непрерывные системы
Для случая линейной системы с входами, выходами и переменными состояния описание имеет вид:
где
; ; ;
, , , , :
— вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы
— вектор выхода,
— вектор управления,
— матрица системы,
— матрица управления,
— матрица выхода,
— матрица прямой связи.
Часто матрица является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.
Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:
или в более компактной форме:
.
Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.
Линеаризация
В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки .
В установившемся режиме для рабочей точки справедливо следующее выражение:
Вводя обозначения:
Разложение уравнения состояния в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:
При взятии частных производных вектор-функции по вектору переменных состояний и вектору входных воздействий получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:
.
Аналогично для функции выхода:
Учитывая , линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:
где
.
Примеры
Модель в пространстве состояний для маятника
Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:
Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.
2019-2024 WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии