WikiSort.ru - Не сортированное

Вывод 1

Выражение для тангенциального ускорения можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости, представленный в виде ${\displaystyle \mathbf {v} =v\,\mathbf {e} _{\tau }}$ через единичный вектор касательной ${\displaystyle \mathbf {e} _{\tau }}$ :

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\,\mathbf {e} _{\tau })}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}{\frac {dl}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ ,}$

где первое слагаемое — тангенциальное ускорение, а второе — нормальное ускорение.

Здесь использовано обозначение ${\displaystyle e_{n}\ }$ для единичного вектора нормали к траектории и ${\displaystyle l\ }$  — для текущей длины траектории (${\displaystyle l=l(t)\ }$ ); в последнем переходе также использовано очевидное

${\displaystyle dl/dt=v\ }$

и, из геометрических соображений,

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}={\frac {\mathbf {e} _{n}}{R}}.}$

Вывод 2

Если траектория гладкая (что предполагается), то:

• изменения направления вектора ${\displaystyle \mathbf {v} \ }$ дадут в проекции на касательную малую величину не ниже второго порядка по ${\displaystyle dt\ }$ , которой можно поэтому пренебречь.
• изменение длины вектора ${\displaystyle \mathbf {v} \ }$ будет отличаться от проекции изменения ${\displaystyle \mathbf {v} \ }$ на касательную тоже на величину не ниже второго порядка.

То и другое следует из того, что угол вектора ${\displaystyle \mathbf {v} \ }$ к касательной будет не ниже первого порядка по ${\displaystyle dt\ }$ . Отсюда сразу же следует искомая формула.

Говоря менее строго, проекция ${\displaystyle \mathbf {v} \ }$ на касательную при малых ${\displaystyle dt\ }$ будет практически совпадать с длиной вектора ${\displaystyle \mathbf {v} \ }$ , поскольку угол отклонения этого вектора от касательной при малых ${\displaystyle dt\ }$ всегда мал, а значит косинус этого угла можно считать равным единице ^[1].