WikiSort.ru - Не сортированное

Переформулировка в терминах пси-функции Чебышёва

Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышёва, определяемой как

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p,\qquad \qquad (*)}$

иными словами, пси-функция Чебышёва это сумма функции Мангольдта:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n),\qquad \Lambda (n)={\begin{cases}\log p,&n=p^{k},\,k\geq 1,\quad p\,{\text{is a prime}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что

Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка ${\displaystyle [1,n]}$ , а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы ${\displaystyle \ln p}$ примерно равны ${\displaystyle \ln x}$ , и функция ${\displaystyle \psi (x)}$ асимптотически ведёт себя так же, как ${\displaystyle \pi (x)\cdot \ln x}$ .

Классические рассуждения: переход к дзета-функции Римана

Как следует из тождества Эйлера,

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$

ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:

${\displaystyle \sum _{n}\Lambda (n)n^{-s}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}.}$

Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции ${\displaystyle a^{s}/s}$ равен ${\displaystyle 2\pi i}$ при ${\displaystyle a>1}$ и 0 при ${\displaystyle 0<a<1}$ . Поэтому, умножение правой и левой части на ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}x^{s}/s}$ и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) интегрирование по вертикальной прямой по ${\displaystyle ds}$ оставляет в левой части в точности сумму ${\displaystyle \Lambda (n)}$ с ${\displaystyle n\leqslant x}$ . С другой стороны, применение теоремы о вычетах позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке ${\displaystyle s=1}$  — полюс первого порядка с вычетом, равным ${\displaystyle (-1)}$ .

Строгая реализация этой программы позволяет получить^[4] явную формула Римана (англ.)^[5]:

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\rho :\,\zeta (\rho )=0, \atop 0<\operatorname {Re} (\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).\qquad \qquad (**)}$

Суммирование тут ведётся по нулям ${\displaystyle \rho }$ дзета-функции, лежащим в критической полосе ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$ , слагаемое ${\displaystyle -\log(2\pi )=-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}}$ отвечает полюсу ${\displaystyle {\frac {x^{s}}{s}}}$ в нуле, а слагаемое ${\displaystyle -\log(1-x^{-2})/2}$  — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции ${\displaystyle s=-2,-4,-6,\dots }$ .

Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение ${\displaystyle \psi (x)\sim x}$ (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем ${\displaystyle x}$ ). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения ${\displaystyle \psi (x)}$ от ${\displaystyle x}$ , и, соответственно, на отклонения ${\displaystyle \pi (x)}$ от ${\displaystyle x/\ln x}$ .

Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-Сельберга

Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как

${\displaystyle \ln n=\sum _{p,k:\,p^{k}|n}\ln p}$

тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как

${\displaystyle \ln =\Lambda *\mathbf {1} ,}$

где ${\displaystyle \ln }$ и ${\displaystyle \mathbf {1} }$  — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.

Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести ${\displaystyle \mathbf {1} }$ в правую часть:

${\displaystyle \Lambda =\ln *\mu ,\qquad \qquad (**)}$

где ${\displaystyle \mu }$  — функция Мёбиуса.

Сумма левой части (**) — искомая функция ${\displaystyle \psi }$ . В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме ${\displaystyle \sum \limits _{k}L\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k),}$ где ${\displaystyle L}$  — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена позволяет записать ${\displaystyle L(n)}$ как

${\displaystyle L(n)=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln n+\gamma +o(1),}$

где ${\displaystyle \gamma }$  — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид ${\displaystyle \sum \limits _{k}F\left({\frac {n}{k}}\right)}$ для подходящим образом подобранной функции F (а именно, ${\displaystyle F(x)=x-\gamma -1}$ ), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса

${\displaystyle \Lambda =F+\sum \limits _{k}R\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k).}$

Поскольку ${\displaystyle F(x)\sim x,}$ остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид ${\displaystyle o(x)}$ . Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения ${\displaystyle M(x)=o(x),}$ где ${\displaystyle M(x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\mu (n)}$  — функция Мертенса, сумма функции Мёбиуса.

Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции ${\displaystyle 1/n}$ .

Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка

${\displaystyle \mu '=-\mu *\Lambda ,}$

где ${\displaystyle f'(n)=f(n)\cdot \ln n}$  — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

${\displaystyle \mu ''=\mu *(\Lambda *\Lambda -\Lambda ').}$

«Усредение» этого уравнения и то, что асимптотика суммы функции ${\displaystyle \Lambda _{2}=\Lambda *\Lambda +\Lambda }$ оценивается лучше асимптотики сумм ${\displaystyle \Lambda }$ , позволяет оценивать отношение ${\displaystyle {\frac {M(x)}{x}}}$ через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку ${\displaystyle M(x)=o(x)}$ .

Классические труды

• Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction ${\displaystyle \zeta (s)}$ et ses conséquences arithmétiques. Bull. Soc. Math. France, № 24 (1896), 199—220.
• Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
• Чебышёв П. Л. Об определении числа простых чисел, меньших данной величины, 1848.
• Чебышёв П. Л. О простых числах, 1850.
• Bernhard Riemann. Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.

Современная литература

• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
• Диамонд Г. Элементарные методы в изучении распределения простых чисел, УМН, 45:2(272) (1990), 79-114.
• Постников А. Г., Романов Н. П. Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел, УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87
• Erdős, P. Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
• Selberg, A. An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.