Решётка Е8 — корневая решётка группы Е8. Она реализует в размерности 8:
Обычно обозначается , также как и группa Е8.
Существование этой решётки было доказано Смитом в 1867 году[1]. Первое явное построение было дано Коркиным и Золотарёвым в 1873 году[2].
Решетку Е8 можно реализовать как дискретную подгруппу из векторов обладающих следующим набором свойств:
Иначе говоря,
Нетрудно проверить, что сумма и разность любых двух векторов из E8 содержится в E8, отсюда E8 является подгруппой .
Решетку Е8 можно также реализовать как множество всех точек в E'8 в таких, что
Иначе говоря
или
Решетки E8 и E'8 изоморфны, одну можно получить из другой, поменяв знак у одной из координат.
Решётку E8 можно охарактеризовать как единственную решетку в , удовлетворяющую следующим свойствам:
Чётные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных 8. В размерности 16 таких решёток две: E8 ⊕ E8 и D16+ (последняя строится аналогично E8 в размерности 16). В размерности 24 существует 24 такие решётки, наиболее важной из них является решётка Лича.
Один из возможных базисов для E8 задаётся столбцами следующей верхнетреугольной матрицы
То есть E8 состоит из всех целых линейных комбинаций столбцов. Все другие базисы получаются из одного умножением справа на матрицу из GL(8,Z).
Кратчайший ненулевой вектор E8 имеет норму 2, всего решётка содержит 240 таких векторов. Эти вектора образуют корневую систему группы Е8. То есть решётка E8 является корневой решёткой Е8. Любой выбор из 8 простых корней дает базис E8.
Областями Вороного решётки E8 являются 5 21 соты[en].
Группы симметрий решетки в Rn определяется как подгруппа ортогональной группы O(n), которая сохраняет решётку. Группа симметрий решётки Е8 порожденная отражениями в гиперплоскостях, ортогональных 240 корням решётки. Ее порядок равен
Эта группа содержит подгруппу порядка 128·8!, состоящую из всех перестановок координат и чётного числа смен знаков. Полная группа симметрий порождается этой подгруппой и блок-диагональной матрицей H4⊕H4 где H4 — матрица Адамара
В задаче упаковки шаров спрашивается, как наиболее плотным способом упаковать шары фиксированного радиуса в пространство без наложений. В R8 размещение шаров радиуса 1/√2 в точках решётки Е8 дает упаковку максимальной плотности, равной
То, что эта плотность максимальна для решётчатых упаковок, было известно давно[3]. Кроме того, было известно, что такая решётка единственна с точностью до подобия[4]. Марина Вязовская недавно доказала, что эта упаковка является оптимальной даже среди всех упаковок[5][6].
Решение задачи упаковки шаров известно только в размерностях 1, 2, 3, 8, и 24. Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, связан с особыми свойствами решетки Е8 и её 24-мерного аналога решетки Лича.
В задаче о контактном числе спрашивается, какое максимальное число шаров фиксированного радиуса может коснуться в центрального шара того же радиуса. В рамерности 8 ответ — 240; такую конфигурацию можно получить, если разместить шары в точках решётки Е8 с минимальной нормой. Это было доказано в 1979 году[7][8].
Решение задачи о контактном числе известно только в размерностях 1, 2, 3, 4, 8, и 24. Тот факт, что решения известны в размерностях 8 и 24, также связан с особыми свойствами решетки Е8 и её 24-мерного аналога решетки Лича.
Тэта-функция решетки Λ определяется как сумма
Она является голоморфной функцией на верхней полуплоскости. Кроме того, тэта-функция чётной унимодулярной решетки ранга n является модульной формой веса n/2.
С точностью до нормализации, есть единственная модульная форма веса 4: это ряд Эйзенштейна G4(τ). То есть тэта-функция решётки E8 должна быть пропорциональна G4(τ). Это даёт
где σ3(n) является функцией делителей и .
Отсюда следует, что число векторов нормы 2n в решётке Е8 равно (сумма кубов делителей n). Это последовательность A004009 в OEIS:
Тета-функция решётки Е8 может быть записана в терминах тета-функций Якоби следующим образом:
где
Код Хэмминга H(8,4) — это двоичный код длины 8 и 4-го ранга; то есть, это 4-мерное подпространство векторного пространства конечной (F2)8. Написание элементов (F2)8 в качестве 8-разрядных целых чисел в шестнадцатеричный код H(8,4) может быть явно записано как
Код H(8,4) является самодвойственным кодом типа II. Он имеет минимальный вес Хэмминга 4; это означает, что любые два кодовые слова отличаются по крайней мере на 4 бита. Для двоичных кодов 4-го ранга длины 8 это является максимумом.
По двоичному коду C длины n можно построить решетку Λ, взяв множество всех векторов таких, что совпадает (по модулю 2) с кодовым словами из C часто удобно масштабировать Λ с коэффициентом 1/√2,
Применение данной конструкции к самодвойственному коду типа II дает чётную, унимодулярную решетку. В частности, для кода Хемминга H(8,4) получаем решётку Е8.
Задача отыскания явного изоморфизма между полученной решёткой и решеткой E8 определеной выше не вполне тривиальна.
Решётка Е8 используется при определении целых октонионов аналогично целым кватернионам.
Целые октонионы, естественно, образуют решетку в O. Эта решетка подобна решетке Е8 с коэффициентом . (Минимальная норма в целых октонионах равна 1, а не 2).
Целые октонионы образуют неассоциативное кольцо.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .