WikiSort.ru - Не сортированное

Унимодулярная решётка — целая решётка с определителем ${\displaystyle \pm 1}$ . Последнее эквивалентно тому, что объём фундаментальной области решётки равен ${\displaystyle 1}$ .

Определения

• Решётка — свободная абелева группа ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ конечного ранга ${\displaystyle n}$ с симметричной билинейной формой ${\displaystyle ({*},{*})}$ .
• Решётку можно также рассматривать как подгруппу в вещественном векторном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с симметрической билинейной формой.
• Число ${\displaystyle n}$ называется размерностью решётки, это размерность соответствующего вещественного векторного пространства; это то же, что и ранг ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -модуля ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ , или число образующих свободной группы ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ .
• Решётка называется целой, если форма ${\displaystyle ({*},{*})}$ принимает только целочисленные значения.
• Норма элемента ${\displaystyle a}$ решётки определяется как ${\displaystyle (a,a)}$ .
• Решетка называется положительно определённой или лоренцевой, и так далее, если его векторное пространство таково. В частности:
  • Решётка является положительно определённой, если норма всех ненулевых элементов положительна.
  • Сигнатура решетки определяется как сигнатура формы на векторном пространстве.
• Определитель решётки — это определитель матрицы Грамма её базиса.
• Решётка называется унимодулярной, если её определитель равен ${\displaystyle \pm 1}$ .
• Унимодулярная решетка называется чётной, если все нормы её элементов чётны.

Примеры

• ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {R} }$ , а также ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — унимодулярные решётки.
• Решётка E8, решётка Лича — чётные унимодулярные решётки.

Свойства

• Для данной решётки в ${\displaystyle \Lambda \in \mathbb {R} ^{n}}$ вектора ${\displaystyle x\mathbb {R} ^{n}}$ такие, что ${\displaystyle (x,a)\in \mathbb {Z} }$ для любого ${\displaystyle a\in \Lambda }$ также образуют решётку называемую двойственной решёткой к ${\displaystyle \Lambda }$ .
  • Целая решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда её двойственная решетка является целой.
  • Унимодулярная решётка тождественна своей двойственной. По этой причине унимодулярные решётки также называются самодвойственными.
• Нечётные унимодулярные решетки существует для всех сигнатур.
• Чётная унимодулярная решетка с сигнатурой ${\displaystyle (m,n)}$ существует тогда и только тогда, когда ${\displaystyle m-n}$ делится на 8.
  • В частности, чётные положительно определенные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных 8.
• Тета-функция унимодулярных положительно определенных решёток является модулярной формой.

Приложения

• Вторая группа когомологий замкнутых односвязных ориентированных топологических четырёхмерных многообразий является унимодулярной решеткой. Михаил Фридман показал, что эта решетка практически определяет многообразие: существует единственное многообразие для каждой чётной унимодулярной решётки, и ровно по два для каждой нечётный унимодулярной решётки.
  • В частности, для нулевой формы это влечёт гипотезу Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий.
  • Теорема Дональдсона гласит, что если многообразие является гладким и его решётка положительно определена, то она должна представлять собой сумму копий ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .
    • В частности, что большинство из этих многообразий не имеет гладкой структуры.

Литература

• Bacher, Roland & Venkov, Boris (2001), "Réseaux entiers unimodulaires sans racine en dimension 27 et 28", in Martinet, Jacques, Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires, vol. 37, Monogr. Enseign. Math., Geneva: L'Enseignement Mathématique, с. 212–267, ISBN 2-940264-02-3 
• Conway, J.H. & Sloane, N.J.A. (1999), Sphere packings, lattices and groups, vol. 290 (Third ed.), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98585-9 
• King, Oliver D. (2003), "A mass formula for unimodular lattices with no roots", Mathematics of Computation Т. 72 (242): 839–863, DOI 10.1090/S0025-5718-02-01455-2 
• Milnor, John & Husemoller, Dale (1973), Symmetric Bilinear Forms, vol. 73, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X, DOI 10.1007/978-3-642-88330-9 
• Serre, Jean-Pierre (1973), A Course in Arithmetic, vol. 7, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90040-3, DOI 10.1007/978-1-4684-9884-4 

Внешние ссылки

• Каталог унимодулярных решёток Нила Слоуна.
• Sloane's A005134 : Number of n-dimensional unimodular lattices", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.